Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Содержание:

А выпуклый многоугольник Это геометрическая фигура, содержащаяся в плоскости, которая характеризуется тем, что все ее диагонали находятся внутри, а ее углы составляют менее 180 °. Среди его свойств можно выделить следующие:

1) Он состоит из n последовательных сегментов, в которых последний из сегментов соединяется с первым. 2) Ни один из сегментов не пересекается таким образом, чтобы ограничить плоскость во внутренней и внешней областях. 3) Каждый угол во внутренней области строго меньше плоского угла.

Простой способ определить, является ли многоугольник выпуклым или нет, — это рассмотреть линию, проходящую через одну из его сторон, которая определяет две полуплоскости. Если на каждой линии, проходящей через одну сторону, другие стороны многоугольника находятся в одной полуплоскости, то это выпуклый многоугольник.

Углы выпуклого многоугольника

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все углы между его сторонами измеряются менее 180 градусов. Такие углы называются углами выпуклого многоугольника.

В выпуклом многоугольнике есть два основных типа углов — внутренние углы и внешние углы.

Внутренний угол выпуклого многоугольника образуется двумя смежными сторонами, принадлежащими многоугольнику, и расположен внутри многоугольника.

Внешний угол выпуклого многоугольника образуется продолжением одной из сторон многоугольника через его вершину и другой стороной многоугольника.

Углы выпуклого многоугольника могут быть разнообразными и иметь различные значения. Внутренние углы всегда меньше 180 градусов, тогда как внешние углы всегда больше 180 градусов.

Исследование углов внутри и вокруг выпуклого многоугольника является важным для многих геометрических задач и приложений. Они позволяют определить свойства и характеристики многоугольника, а также использовать их для решения различных задач в геометрии, физике, инженерии и других науках.

В итоге, углы выпуклого многоугольника являются основными элементами его структуры, и их исследование имеет важное значение при изучении и применении многоугольников в различных областях знаний. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все углы не превышают 180 градусов и все его стороны лежат по одну сторону от прямой, соединяющей любые две точки многоугольника

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все углы не превышают 180 градусов и все его стороны лежат по одну сторону от прямой, соединяющей любые две точки многоугольника.

Внутренний угол выпуклого многоугольника определяется двумя его сторонами и точкой их пересечения. Прямая, соединяющая вершину многоугольника и точку пересечения его сторон, называется биссектрисой угла. Внутренние углы выпуклого многоугольника всегда острые (меньше 180 градусов).

Углы выпуклого многоугольника можно классифицировать на внутренние и внешние. Внутренние углы образуются внутри многоугольника, а внешние углы образуются за его пределами. Внутренние углы выпуклого многоугольника сумма всех внутренних углов равна 180 градусов, так как прямая, соединяющая две точки многоугольника, делит его на два треугольника, каждый из которых имеет сумму внутренних углов, равную 180 градусов.

Выпуклый многоугольник имеет множество внутренних углов, и каждый угол имеет свою меру в градусах. Например, треугольник, который является самым простым выпуклым многоугольником, имеет три внутренних угла, каждый из которых равен 60 градусов.

Внутренние углы выпуклого многоугольника являются важными свойствами этой геометрической фигуры. Они используются для решения различных задач и задач геометрии, таких как вычисление площади многоугольника или определение его формы.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого все внутренние углы меньше 180 градусов. В то же время, у выпуклого многоугольника есть также внешние углы.

Внешний угол выпуклого многоугольника образуется связью двух отрезков, не лежащих на одной стороне многоугольника, и находится вне его контура. Точка, где эти два отрезка пересекаются, называется вершиной внешнего угла.

Внешние углы выпуклого многоугольника могут быть разных размеров, в зависимости от количества вершин и расположения сторон многоугольника. Чтобы найти меру внешнего угла, нужно проследовать по стороне многоугольника и замыкать его контур по часовой стрелке. Затем, если мы начнем с измерения угла от этой стороны, мы повернемся на соседнюю сторону и продолжим измерение.

Меру внешнего угла можно найти, используя формулу: \(180^\circ — \text{мера внутреннего угла}\). Например, если внутренний угол равен 60 градусов, то мера внешнего угла будет равна \(180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).

Внешние углы выпуклого многоугольника могут иметь разные свойства и использоваться в различных математических задачах. Они могут быть основой для определения дополнительных углов, определения свойств многоугольника или решения геометрических задач.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Разбиение выпуклого многоугольника

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn – вершины этого n-угольника. Число Xn — количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1 17 апреля, 2014

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

На рисунке 1 показано несколько многоугольников, некоторые из них выпуклые, а некоторые — нет. Разберем их:

Номер 1 — это трехсторонний многоугольник (треугольник), а все внутренние углы меньше 180 °, поэтому это выпуклый многоугольник. Все треугольники — выпуклые многоугольники.

Число 2 — это четырехсторонний многоугольник (четырехугольник), в котором ни одна из сторон не пересекается, а каждый внутренний угол меньше 180 °. Тогда это будет выпуклый многоугольник с четырьмя сторонами (выпуклый четырехугольник).

С другой стороны, число 3 представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами, но один из его внутренних углов больше 180 °, поэтому он не удовлетворяет условию выпуклости. То есть это невыпуклый четырехсторонний многоугольник, называемый вогнутым четырехугольником.

Число 4 представляет собой многоугольник с четырьмя отрезками (сторонами), два из которых пересекаются. Четыре внутренних угла меньше 180 °, но поскольку две стороны пересекаются, получается невыпуклый перекрещенный многоугольник (перекрещенный четырехугольник).

Другой случай — число 5. Это многоугольник с пятью сторонами, но поскольку один из его внутренних углов больше 180 °, мы получаем вогнутый многоугольник.

Наконец, число 6, у которого также есть пять сторон, имеет все внутренние углы меньше 180º, поэтому это выпуклый многоугольник с пятью сторонами (выпуклый пятиугольник).

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022  (1) Сентябрь 2022  (1) Январь 2022  (2) Сентябрь 2021  (1) Июль 2021  (1) Июнь 2021  (2) Май 2021  (1) Апрель 2021  (1) Март 2021  (1) Сентябрь 2020  (1) Август 2020  (2) Июль 2020  (2) Июнь 2020  (2) Декабрь 2019  (3) Ноябрь 2019  (4) Октябрь 2019  (3) Сентябрь 2019  (2) Май 2019  (1) Октябрь 2018  (1) Июнь 2018  (1) Апрель 2018  (1) Январь 2018  (1) Ноябрь 2017  (1) Октябрь 2017  (1) Сентябрь 2017  (2) Август 2017  (4) Июль 2017  (5) Июнь 2017  (4) Май 2017  (5) Апрель 2017  (2) Март 2017  (1) Февраль 2017  (1) Январь 2017  (3) Декабрь 2016  (1) Ноябрь 2016  (2) Октябрь 2016  (3) Сентябрь 2016  (4) Август 2016  (6) Июль 2016  (9) Июнь 2016  (4) Май 2016  (5) Апрель 2016  (6) Март 2016  (5) Февраль 2016  (8) Январь 2016  (8) Декабрь 2015  (9) Ноябрь 2015  (4) Июль 2015  (1) Март 2015  (1) Февраль 2015  (1) Январь 2015  (1) Июль 2014  (1) Июль 2013  (1) Март 2013  (2) Декабрь 2012  (1) Ноябрь 2012  (1) Сентябрь 2012  (3) Август 2012  (4) Июль 2012  (4) Июнь 2012  (4) Май 2012  (4) Апрель 2012  (5) Март 2012  (7) Февраль 2012  (8) Январь 2012  (7) Декабрь 2011  (5) Ноябрь 2011  (1)

1. Понятие «многоугольник»

В курсе гео­мет­рии мы изу­ча­ем свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур и уже рас­смот­ре­ли про­стей­шие из них: тре­уголь­ни­ки и окруж­но­сти. При этом мы об­суж­да­ли и кон­крет­ные част­ные слу­чаи этих фигур, такие как пря­мо­уголь­ные, рав­но­бед­рен­ные и пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Те­перь при­шло время по­го­во­рить о более общих и слож­ных фи­гу­рах – мно­го­уголь­ни­ках.

С част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков мы уже зна­ко­мы – это тре­уголь­ник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Тре­уголь­ник

В самом на­зва­нии уже под­чер­ки­ва­ет­ся, что это фи­гу­ра, у ко­то­рой три угла. Сле­до­ва­тель­но, в мно­го­уголь­ни­ке их может быть много, т.е. боль­ше, чем три. На­при­мер, изоб­ра­зим пя­ти­уголь­ник (см. Рис. 2), т.е. фи­гу­ру с пятью уг­ла­ми.

Рис. 2. Пя­ти­уголь­ник. Вы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Опре­де­ле­ние.Мно­го­уголь­ник – фи­гу­ра, со­сто­я­щая из несколь­ких точек (боль­ше двух) и со­от­вет­ству­ю­ще­го ко­ли­че­ства от­рез­ков, ко­то­рые их по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют. Эти точки на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, а от­рез­ки – сто­ро­на­ми. При этом ни­ка­кие две смеж­ные сто­ро­ны не лежат на одной пря­мой и ни­ка­кие две несмеж­ные сто­ро­ны не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Опре­де­ле­ние.Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник – это вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны и углы равны.

Любой мно­го­уголь­ник раз­де­ля­ет плос­кость на две об­ла­сти: внут­рен­нюю и внеш­нюю. Внут­рен­нюю об­ласть также от­но­сят кмно­го­уголь­ни­ку.

Иными сло­ва­ми, на­при­мер, когда го­во­рят о пя­ти­уголь­ни­ке , имеют в виду и всю его внут­рен­нюю об­ласть, и гра­ни­цу. А ко внут­рен­ней об­ла­сти от­но­сят­ся и все точки, ко­то­рые лежат внут­ри мно­го­уголь­ни­ка, т.е. точка  тоже от­но­сит­ся к пя­ти­уголь­ни­ку (см. Рис. 2).

Мно­го­уголь­ни­ки еще ино­гда на­зы­ва­ют n-уголь­ни­ка­ми, чтобы под­черк­нуть, что рас­смат­ри­ва­ет­ся общий слу­чай на­ли­чия ка­ко­го-то неиз­вест­но­го ко­ли­че­ства углов (n штук).

Опре­де­ле­ние. Пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка – сумма длин сто­рон мно­го­уголь­ни­ка.

Те­перь надо по­зна­ко­мить­ся с ви­да­ми мно­го­уголь­ни­ков. Они де­лят­ся на вы­пук­лые и невы­пук­лые. На­при­мер, мно­го­уголь­ник, изоб­ра­жен­ный на Рис. 2, яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а на Рис. 3 невы­пук­лым.

Рис. 3. Невы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Другие свойства выпуклого многоугольника

Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Определение 1 . Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L , составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

В случае, когда точки A₁ и A_{n +1} совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Определение 2 . Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию ( звенья ), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Определение 3 . Многоугольник называют n – угольником , если он имеет n сторон.

Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником , многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

Величину, равную половине периметра, называют полупериметром .

Доказательство теоремы и формулы

Теорема 1. В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его вершин.

Доказательство. Пусть  — правильный n-угольник . Проведем биссектрисы p и q углов . Докажем, что точка O является центром правильного n-угольника .

Теорема 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство. О — пересечение биссектрис углов  .

равнобедренный, то  (по 2 сторонам и углу между ними). Следовательно.

О — центр описанной окружности с радиусом .

Описанная окружность только одна.

Теорема 3. Всякий многоугольник является равносоставленным с некоторым треугольником.

Доказательство. Рассмотрим многоугольник ABCDE… и одну из его вершин (например, С), перенесем параллельно диагонали BD на продолжение стороны DE. При этом исходный многоугольник преобразуется в равновеликий многоугольник с числом сторон на единицу меньшим.

Мы заменили один треугольник другим равновеликим, а остальная часть многоугольника осталось неизменной. Получим, новый многоугольник, который является равносоставленным с исходным. Продолжая этот процесс, мы превратим исходный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник.

Правильные многоугольники

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ \). 

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \( \displaystyle \angle A\) можно найти:

\( \displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ \).

Что мы еще должны знать?

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри, как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника.

Посмотри на \( \displaystyle \Delta OKG\). В нем \( \displaystyle OK=r,OG=R.\)

Значит, \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin \angle x\) – и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае \( \displaystyle \angle x\)?

Ровно половине \( \displaystyle \angle G\), представь себе!

Значит \( \displaystyle \angle x=\frac{135{}^\circ }{2}=67,5{}^\circ \).

Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin 67,5{}^\circ \).

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки \( \displaystyle O\)?

И тот же ответ: конечно можно!

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Окружность многоугольника

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Элементы многоугольника

Каждый многоугольник состоит из следующих элементов:

Стороны — это каждый из последовательных сегментов, составляющих многоугольник. В многоугольнике ни один из составляющих его сегментов не может иметь открытого конца, в этом случае будет многоугольная линия, но не многоугольник.

Вершины — это точки соединения двух последовательных отрезков. В многоугольнике количество вершин всегда равно количеству сторон.

Если две стороны или сегменты многоугольника пересекаются, значит, у вас есть перекрещенный многоугольник. Точка пересечения не считается вершиной. Поперечный многоугольник — это невыпуклый многоугольник. Звездообразные многоугольники являются перекрестными многоугольниками и поэтому не являются выпуклыми.

Когда у многоугольника все стороны одинаковой длины, мы получаем правильный многоугольник. Все правильные многоугольники выпуклые.

Виды многоугольников

Различают несколько видов этих фигур: выпуклые, вогнутые, правильные и неправильные.

Какие многоугольники называются выпуклыми и невыпуклыми (вогнутыми)? Чтобы определить, какой многоугольник называется выпуклым, достаточно знать его определение.

Если стороны, при продолжении до прямой линии, не пересекают плоскость, то это выпуклый многоугольник.

Определение невыпуклого многоугольника: если при продолжении сторон прямые линии пересекают плоскость фигуры, то она является вогнутой.

Что такое правильные многоугольники

Выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называются правильными.

На рисунке показан правильный многоугольник.