Евклид

Папирус из Оксиринха

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, два самых известных из них хранятся Бодлианской библиотеке и Ватиканской апостольской библиотеке (двухтомный Ватиканский манускрипт).

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (датируемых IX веком и позднее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом (англ. Thomas Little Heath)). Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых современными исследователями IX—XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный — концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, например, сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принёс в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 годами под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого языка в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар (фр. François Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашёл три манускрипта в Риме и среди них важнейший — двухтомный ватиканский манускрипт.

Пятый постулат и другие геометрии[править | править код]

Как показано выше, добавление пятого постулата или его отрицания к остальным аксиомам Евклида формирует геометрию Евклида или геометрию Лобачевского соответственно. Для других распространённых однородных геометрий роль пятого постулата не столь велика.

Система аксиом сферической геометрии требует более существенной переделки аксиом Евклида, поскольку в ней нет параллельных прямых. В проективной геометрии можно определить параллельные прямые как прямые, которые пересекаются только в бесконечно удалённой точке; тогда пятый постулат становится простым следствием аксиомы: «через две точки можно провести одну и только одну прямую». В самом деле, если задать прямую L{\displaystyle L} и точку P{\displaystyle P} вне её и затем применить указанную аксиому для P{\displaystyle P} и бесконечно удалённой точки, то полученная прямая будет параллельна L{\displaystyle L} и, очевидно, определена однозначно.

Слайд 19 Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и

пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны.

Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки:«В этом есть что-то восхитительное, что вызывает желание, чтобы третья гипотеза была справедлива. И всё же я хотел бы , чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом неудобств. Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе , астрономии пришлось бы плохо».

Геометрия на поверхности отрицательной кривизны

Смелым — лавры

А все-таки мы говорим о «геометрии Лобачевского», а не о «геометрии Гаусса», пусть и Гаусс пришел к выводам о кривых первым.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс

Дело было в том, что Гаусс прекрасно понимал, насколько «еретической» была сама идея перекроить пятый постулат Евклида и всю евклидову геометрию и что это вызовет ярчайшее неудовольствие со стороны людей науки. Свои гипотезы Гаусс проверял только под покровом ночи. А публичный удар принял на себя Лобачевский, опубликовав труд «О началах геометрии» в 1829 году.

Со временем, конечно, работы Лобачевского по неевклидовой геометрии нашли отклик. Во многом благодаря опубликованной переписке с Гауссом, ведь последний сохранил незапятнанную научную репутацию

Это привлекло нужное внимание: если видный ученый одобряет, есть смысл посмотреть, что там такое

Так что в этой истории каждый внес важную лепту!

Почему невозможно доказать 5-й постулат Эвклида?

Пятый постулат Эвклида, также известный как «аксиома параллельных», является одним из самых сложных постулатов в геометрии.

Данный постулат гласит: «Если прямая пересекает две другие прямые и образует по одну сторону с ними внутренние углы, меньшие, чем два прямых угла, то эти две другие прямые, продолжаемые до бесконечности, встретятся с той стороны от первой прямой, на которой находятся внутренние углы, меньшие, чем два прямых угла».

Одной из главных причин, почему пятый постулат нельзя доказать, заключается в том, что он не обладает самодостаточностью.

Следует отметить, что первые четыре постулата Эвклида являются сравнительно простыми и очевидными. Однако пятый постулат не может быть выведен из первых четырех, он требует дополнительного предположения.

Еще одной причиной невозможности доказательства пятого постулата является то, что он не является единственно возможным.

Существуют альтернативные геометрии, в которых изменены аксиомы, и пятый постулат не требуется для доказательства свойств фигур. Например, в геометрии Лобачевского пятый постулат заменен другим предположением, которое не противоречит первым четырем постулатам.

Таким образом, пятый постулат Эвклида не может быть доказан, но он все еще остается фундаментальной частью геометрии и используется в большинстве ее разделов.

Первая книга

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1—7) гласят:

Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν— букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
Линия — длина без ширины.
Края же линии — точки.
Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Края же поверхности — линии.
Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, в частности, таков подход в «Основаниях геометрии» Гильберта.

Краткий обзор эволюции геометрии до появления Эвклида

Геометрия — это наука, изучающая свойства и отношения геометрических фигур. В древности геометрия связывалась с земледелием, строительством и астрономией. В древнем Египте и Месопотамии была развита практическая геометрия, на базе которой строились сооружения и общественные здания.

Однако, первый внесущественный вклад в теоретическую геометрию внес грек Пифагор. Он доказал, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Также Пифагор ввел понятие математических доказательств и доказал, что корень из 2 является иррациональным числом.

Грек Евдокс из Книдоса разработал теорему о равномерном движении точки по окружности и предложил метод трактовки пределов в математических выражениях. Аристотель выдвинул теорию о геометрическом пространстве как наборе возможных местоположений объектов без учета времени и линейной размерности.

Но наибольшей известностью в мире математики и геометрии пользуется Эвклид. В 300 году до н.э. Эвклид записал большое количество геометрических теорем и фактов в своей книге «Начала». Он сформулировал 5 постулатов, которые легли в основу геометрических исследований на многие века вперед. Однако, его 5 постулат, впоследствии стали причиной множества дискуссий и споров, исходя из того, что они не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты.

Пятый постулат Евклида

На протяжении более двух тысячелетий это утверждение неоднократно становилось объектом пристального внимания математиков. Однако сначала познакомимся с содержанием пятого постулата Евклида. Итак, в современной формулировке он звучит так: если на плоскости при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, то эти прямые при продолжении рано или поздно пересекутся с той стороны, с которой эта величина (сумма) меньше 180°.

Пятый постулат Евклида, формулировка которого в разных источниках приводится по-разному, с самого начала вызвала спорт и желание перевести его в разряд теорем путем построения обоснованного доказательства. Кстати, нередко его подменяют другим выражением, на самом деле придуманным Проклом и известным также, как аксиома Плейфера. Оно гласит: на плоскости через точку, не принадлежащей данной прямой, возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Применение первого постулата Евклида

Первый постулат Евклида устанавливает основные принципы геометрии, основываясь на которых можно строить все дальнейшие рассуждения и выводы.

Прямая линия с любыми двумя точками.

Первый постулат гласит, что можно провести прямую линию через любые две данне точки пространства.

Этот постулат позволяет строить прямые линии, является основой для построения геометрических фигур и визуального представления пространства.
Визуализация и построение фигур.

Благодаря первому постулату геометрия позволяет нам визуализировать и конструировать различные геометрические фигуры.

Например, мы можем построить треугольник, откладывая отрезки между точками на прямой, соединяя точки отрезками и замыкая фигуру. Аналогично, используя первый постулат, мы можем строить прямоугольники, круги, эллипсы и другие фигуры.
Аналитическая геометрия.

Первый постулат Евклида лежит в основе аналитической геометрии. Аналитическая геометрия представляет собой способ представления геометрических фигур и решения геометрических задач с помощью алгебраических методов и систем координат.

Поэтому первый постулат играет важную роль в математике и ее применении в различных областях, таких как физика, инженерия и компьютерная графика.

О доказательстве независимости[править | править код]

Независимость пятого постулата означает, что его отрицание не противоречит остальным аксиомам геометрии (при условии что геометрия Евклида непротиворечива).
Одновременно это означает непротиворечивость геометрии Лобачевского.
На самом деле верна следующая теорема.

Теорема. Геометрия Лобачевского непротиворечива тогда и только тогда, когда непротиворечива евклидова геометрия.

Для доказательства этой теоремы в современной математике используются модели одной геометрии в другой.
В модели для точек, прямых и других объектов первой геометрии строятся объекты в рамках второй геометрии так,
что для построенных объектов выполняются аксиомы первой. Таким образом, если бы противоречие нашлось в первой системе аксиом, то оно нашлось бы и во второй.

Сложно точно указать, кто и когда доказал эту теорему.

В некотором смысле можно считать, что это было сделано уже Лобачевским.
Действительно, Лобачевский заметил, что геометрия орисферы в пространстве Лобачевского является ничем иным, как евклидовой плоскостью; таким образом, существование противоречия в евклидовой геометрии влекло бы противоречие в геометрии Лобачевского.
На современном языке, Лобачевский построил модель евклидовой плоскости в пространстве Лобачевского.
В обратную сторону его построение шло аналитически, и непротиворечивость геометрии Лобачевского следовала из непротиворечивости вещественного анализа.

Несмотря на наличие этих инструментов, Лобачевский не формулировал саму теорему непротиворечивости.
Для её строгой формулировки был необходим логический анализ оснований геометрии, сделанный позже Пашем, Гильбертом и другими.

Появлением концепции модели мы обязаны Бельтрами.
В 1868 году он построил проективную модель, конформно-евклидову модель, а также локальную модель на так называемой псевдосфере.
Бельтрами также был первым, кто увидел связь геометрии Лобачевского с дифференциальной геометрией.

Построенные Бельтрами модели были развиты позже Клейном и Пуанкаре, благодаря им построение было значительно упрощено, и также были обнаружены связи и приложения новой геометрии к проективной геометрии и комплексному анализу. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно.

Слайд 17Во второй половине XVIII века было опубликовано более 50 работ

по теории параллельных. В обзоре тех лет (Г. С. Клюгель) исследуется более

30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик И. Г. Ламберт, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана (как и труд Саккери, посмертно) в 1786 году.

К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.

Сила догматического мышления

Интересно, что до Лобачевского математики пытались не более чем доказать пятый постулат, причем, надо отметить, безуспешно.

Доказать пятый постулат Евклида казалось важным потому, что единственность параллельной прямой не звучит как нечто, что можно принять в аксиоматическом порядке в сравнении с простыми утверждениями о точках и углах. Однако всякие попытки доказательств оборачивались провалом и были похожи на собачку, пытающуюся укусить саму себя за хвост.

Они по кругу возвращались к необходимости использования пятого постулата. Иными словами, доказать, что аксиома параллельности истина без аксиомы параллельности не представлялось возможным. В течение практически двух тысяч лет продолжался этот порочный круг: попытки доказать, провалы… и далее по петле.

До Лобачевского. Ученый предположил, что все зависит от того, что считать прямой и в каком пространстве она находится. Таким образом была доказана аксиома параллельности. Просто благодаря отверженности одного русского математика.

Слайд 5В несколько упрощённом виде его можно описать так: пусть прямая

b проходит через заданную точку A параллельно прямой a; докажем,

что любая другая прямая c, проведенная через ту же точку, пересекается с прямой a. Как упоминалось выше, расстояние между прямыми от точки их пересечения возрастает неограниченно (доказательство этой теоремы не опирается на V постулат). Но тогда в конце концов расстояние между c и b превысит расстояние между параллельными прямыми, то есть прямые c и a пересекутся.Приведенное доказательство опирается на допущение, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно (или, по крайней мере, ограничено).

Доказательство Прокла

Прокл (V век н. э.)

Следствия

Эта аксиома имеет два следствия, которые еще называют свойствами параллельных прямых.

На самом деле, следствий три, но третье в своем доказательстве имеет не только аксиому, а поэтому следствием в полной мере считаться не может. Формулируется третье следствие так: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Мы докажем это утверждение чуть позже.

Первое следствие из аксиомы параллельных прямых звучит так: если прямая параллельна одной из параллельных прямых, то она параллельна и третьей.

Рис. 1. Иллюстрация следствия.

Второе следствие: Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.

Рис. 2. Иллюстрация следствия.

Оба следствия доказываются методом от противного.

Упорная евклидова геометрия и ее пятый постулат

Геометрия как наука сложилась давно — несколько тысячелетий назад. Знания о пространстве начали собирать еще представители древнейших цивилизаций: египетской, вавилонской, индийской, эгейской (крито-микенской). Они, размечая поля и возводя здания, обнаружили множество геометрических правил. В III веке до н. э. древнегреческий ученый Евклид обобщил все известные на тот момент сведения о геометрии в труде «Начала». Именно на основе «Начал» в дальнейшем геометрия веками развивалась как наука, а сам труд стал образцом научного изложения.

Евклид установил пять постулатов и девять аксиом. Почти два тысячелетия на них строилась вся геометрия — евклидова геометрия. Вот эти пять постулатов:

Через две точки можно провести прямую.
Отрезок прямой можно неограниченно продолжить.
Данным радиусом из данной точки можно провести окружность.
Все прямые углы равны между собой.
На плоскости через точку, лежащую вне прямой, проходит только одна параллельная, то есть не пересекающаяся с первой прямой.

Заметно, что последний постулат Евклида сложнее остальных и менее «интуитивен». Особенно это бросается в глаза, если обратиться не к более поздней формулировке, представленной выше, а к оригиналу Евклида. Тот говорил, что если сумма углов при пересечении двух прямых третьей будет меньше 180°, то они непременно пересекутся.

Пятый постулат очень важен, так как из него выводится доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180° или, например, вывод о существовании прямоугольников. При этом истинность пятого постулата недоказуема на чертеже: бесконечно вести две параллельные прямые попросту невозможно

На то, что аксиома Евклида больше похожа на теорему, обратили внимание еще в Античности

Поэтому ученые веками пытались найти доказательство пятого постулата. Этим занимались античные мыслители Посидоний (II— I века до н. э.), Клавдий Птолемей (II век н. э.) и неоплатоник Прокл (410–485). Затем задачу пытались решить арабские исследователи Аль-Аббас аль-Джаухари и Сабит ибн Курра (оба — IX век), Омар Хайям (1048–1131) и Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Потом за пятый постулат взялись европейцы: Леви бен Гершома (1288–1344), иезуит Христофор Клавий (1537–1612), гениальный английский математик-самоучка Джон Валлис (1616–1703), французы Алексис Клеро (1713–1765) и Адриен-Мари Лежандр (1752–1833), русский академик Семен Гурьев (1766–1813) и др.

Открытие неевклидовой геометрии[править | править код]

В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли К. Ф. Гаусс,
Я. Бойяи,
Н. И. Лобачевский и
Ф. К. Швейкарт.
Но цель у них была уже иная — не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире.
На тот момент это была совершенно еретическая идея; никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство евклидово.
Интересно, что Гаусса и Лобачевского учил в молодости один и тот же учитель — Мартин Бартельс, который, впрочем, сам неевклидовой геометрией не занимался.

Первым был Швейкарт. В 1818 году он отправил Гауссу письмо с серьёзным анализом основ неевклидовой геометрии, однако воздержался от вынесения своих взглядов на публичное обсуждение. Гаусс тоже не решился опубликовать работу на эту тему, но его черновые заметки и несколько писем однозначно подтверждают глубокое понимание неевклидовой геометрии. Вот несколько характерных отрывков из писем Гаусса, где впервые в науке появляется термин «неевклидова геометрия»:

В 1818 году в письме к австрийскому астроному Герлингу Гаусс выразил свои опасения:

Ознакомившись с работой Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных», Гаусс энергично ходатайствует об избрании русского математика иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества (что и произошло в 1842 году).

Н. И. Лобачевский

Лобачевский и Бойяи проявили бо́льшую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (Лобачевский — в докладе 1826 года и публикации 1829 года; Бойяи — в письме 1831 года и публикации 1832 года), независимо друг от друга, опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского. Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она в настоящий момент носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить V постулат, измерив сумму углов треугольника).

Во вступлении к своей книге «Новые начала геометрии» Лобачевский решительно заявляет:

Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого остракизму в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны. Но и его борьба была не напрасна. По иронии судьбы торжество смелых идей Лобачевского обеспечил (посмертно) осторожный Гаусс

В 1860-е годы была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам русского математика. В 1868 году вышла статья Э

Бельтрами, который показал, что плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну (у евклидовой плоскости кривизна нулевая, у сферы — положительная); очень быстро неевклидова геометрия приобрела легальный научный статус, хотя всё ещё рассматривалась как чисто умозрительная.

В конце XIX—начале XX века сначала математики (Бернхард Риман, Уильям Кингдон Клиффорд), а затем и физики (Общая теория относительности, Эйнштейн), окончательно покончили с догматом о евклидовой геометрии физического пространства.

Постулаты Евклида

Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.

Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так (выше мы дали пересказ): «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Позднее Прокл выразил этот постулат так: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных линий, то она пересечет также и вторую параллельную». Более привычная для нас формула: «Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой» – принадлежит Джону Плейферу.

Не раз делались попытки доказать пятый постулат Евклида (Птолемей, Насир аль-Дин, Ламберт, Лежандр). Наконец, Карл Гаусс высказал в 1816 г. гипотезу, что этот постулат может быть заменен другим. Эта догадка была реализована в параллельных исследованиях независимо друг от друга Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношем Больяем (1802–1866). Однако оба эти исследователя (и русский, и венгерский) не получили признания других математиков, особенно тех, кто стоял на позициях кантовского априоризма в понимании пространства, который допускал только одно пространство – евклидово. Только Бернхард Риман (1826–1866) своей теорией многообразий (1854) доказал возможность существования многих видов неевклидовой геометрии. Сам Б. Риман заменил пятый постулат Евклида на постулат, согласно которому вообще нет параллельных линий, а внутренние углы треугольника больше двух прямых. Феликс Клейн (1849–1925) показал соотношение неевклидовых и евклидовой геометрий. Евклидова геометрия относится к поверхностям с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского – к поверхностям с положительной кривизной, а геометрия Римана – к поверхности с отрицательной кривизной.

Аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида

Смотри: через любую точку \( \displaystyle A\) проходит только одна прямая \( \displaystyle b\), которая параллельна \( \displaystyle a\), все остальные будут пересекать прямую \( \displaystyle a\).

Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…

Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.

В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

Литература[править | править код]

Начала Евклида / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. — М.—Л.: ГТТИ, 1948.
Текст книг I—VI на www.math.ru или на mccme.ru
Каган В. Ф. Геометрия Лобачевского и её предыстория. — М.—Л., 1949.
Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. — М.: Мир, 1989. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.
Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. — М., 1956.
Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии: Развитие понятия о геометрическом пространстве. — М.: Наука, 1976.
Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке. — М.: Наука, 1983.
Смилга В. П. В погоне за красотой. Занимательное введение в неевклидову геометрию. — 2-е изд. — М.: Молодая гвардия, 1988. — 288 с. — (Эврика).

Презентация 8 класса на тему: «ПРОКТ по теме : ЕВКЛИД. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. ПРОКТ по теме : ЕВКЛИД. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. Составила: ученица 8 Г класса, МОУ СОШ 1 г. Фрязино Арапова.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

ПРОКТ по теме : ЕВКЛИД. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. ПРОКТ по теме : ЕВКЛИД. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. Составила: ученица 8 Г класса, МОУ СОШ 1 г. Фрязино Арапова Анастасия

ЕВКЛИД Евклид- древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактов по математике. Евклид- древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактов по математике.

«Начала» Важнейший математический труд гениального Эвклида «Начала» имеет весьма почтенный возраст — свыше двух тысячелетий. Работа содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего её развития. Важнейший математический труд гениального Эвклида «Начала» имеет весьма почтенный возраст — свыше двух тысячелетий. Работа содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего её развития.

Определения из первой книги «Начала» Точка есть то, что не имеет частей. Линия-длина без ширины. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

За определениями Евклид располагает постулаты: От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Все прямые углы равны между собой. Все прямые углы равны между собой.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат: Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Оригинальный текст (др.-греч.) Оригинальный текст (др.-греч.)

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так: Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. ПОПЫТКА ДОКОЗАТЕЛЬСТВА. Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных В современных источниках приводится другая формулировка, равносильная V постулату: В современных источниках приводится другая формулировка, равносильная V постулату: В плоскости через точку, не лежащую на В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. только одну прямую, параллельную данной. Она принадлежит Проклу Диадоху. Она принадлежит Проклу Диадоху.

Эквивалентные формулировки V постулата Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую. Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Существует треугольник сколь угодно большой площади. Существует треугольник сколь угодно большой площади.