Презентация на тему «развитие понятия о числе»

Занятие 1.1 Введение. Развитие понятия числа

1. Роль математики в подготовке специалистов среднего профессионального образования.
2. Современная электронно-вычислительная техника и области ее применения.
3. Понятие о математическом моделировании.
4. Множество действительных чисел. Приближения действительных чисел конечными десятичными дробями.
5. Числовая прямая. Промежутки. Окрестности точки.
6. Простейшие вычисления с помощью МК.
7. Формулы сокращенного умножения.

для чисто периодической дроби:для смешанной периодической дроби: стоящим после запятойТеорема.называется осью действительных чисел -2,5 3,55 -3 -2 -1 0 1 2 3 4промежутками.ОтрезокИнтервалПолуоткрытыедлинойБесконечныеточкиа — n Самостоятельная работа 2) →17.2 5.8 = x →П5.1 3.78 = M + 12.7 2.3 = M + MRКомбинированные действия на МК.···2 3 22 322 2 22Контрольные вопросы

1. Всякая ли обыкновенная дробь — число рациональное?

2. Может ли быть рациональное число отрицательным?

3. Почему бесконечную периодическую десятичную дробь считают рациональным числом?

4. Назовите числа рациональные, иррациональные

5. Какие числа, кроме рациональных и иррациональных являются действительными?

6. Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого натурального числа есть число иррациональное?

7. Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого нечетного числа есть число иррациональное?

  1                

Арифметика каменного века

Обучаться счету наши предки стали на заре своего развития. Учила их этому окружающая жизнь. Охота была главным способом добычи еды. Чтобы не упустить жертву, ее окружали с разных сторон. Пять человек с одной стороны, четыре с другой. Здесь счет выходил на первое место. Люди, даже не имея понятий о цифрах, обходились показом на пальцах. До сих пор существуют племена, пользующиеся таким видом счета.

Археологи, нашедшие поселение древних людей, обнаружили среди волчьих останков кость, с нанесенными отметинами. 55 нанесенных зазубрин указывают на то, что древний охотник вел расчеты при помощи пальцев. Из рисунка на кости можно узнать, что количество зарубок составляет 11 групп по 5 отметин. Начальные 5 групп отделены от других удлиненной отметиной.

Человечество далеко продвинулось вперед с той поры. Но и поныне швейцарские фермеры, отвозя молоко для обработки, зарубками отмечают количество отправляемых емкостей.

Для успешного занятия сельским хозяйством, необходимы были знания арифметики. Не рассчитав количество дней, определить время посева, начало полива составляло определенные трудности. Нужно было определять сроки появления приплода у животных, численность скота в загоне, какое количество урожая помещено в амбары.

Примерно за 6 тыс. лет до н. э. скотоводы того времени начали лепить из глины различные предметы для подсчета животных в стаде. Чтобы узнать, все ли стадо вернулось домой, пастух откладывал в сторону один глиняный кружочек за каждую возвратившуюся овцу. Когда число кружочков и количество животных совпадало, считавший шел отдыхать. Его стадо состояло не только из овец. На пастбища выгоняли коров, коз и других животных. Поэтому возникала потребность в изготовлении и других глиняных фигурок. Люди, обрабатывавшие землю, при помощи таких изделий подсчитывали размеры полученного урожая. Число мешков в амбаре, количество выжатого масла в кувшинах. Сколько у него имеется кусков полотна. Все это требовало подсчета. Когда в стаде случался приплод, хозяин добавлял новые кружочки. При забое скота некоторые фигурки приходилось убирать в сторону.

Так, не зная счета, древние совершали арифметические действия.

Литература[]

Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант»). (см. ISBN )

Ifrah G. The Universal History of Numbers. — John Wiley & Sons, 2000. — 635 p. — ISBN 0471393401. (см. ISBN )

 (англ.)

Числа с собственными именами
Вещественные	Золотое сечение • e (число Эйлера) • Пи • Число Скьюза
Натуральные	Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди
Степени десяти	Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс
Степени тысячи	Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион … • … Центиллион • Зиллион
Степени двенадцати	Дюжина • Гросс • Масса
Двенадцатеричная система счисления	Литературные  • меры счёта  • Доцанд • Мириад

Википедия Число адрес Викисловарь — адрес Викицитатник — адрес Викиучебник — адрес Викитека — адрес Викиновости — адрес Викиверситет — адрес Викигид — адрес

Выделить Число и найти в: Вокруг света адрес Академик адрес Астронет адрес Элементы адрес Научная Россия адрес Кругосвет адрес Научная Сеть Традиция — адрес Циклопедия — адрес Викизнание — адрес

Bing Yahoo Яндекс Mail.ru Рамблер Нигма.РФ Спутник Google Scholar Апорт Архив Интернета Научно-популярные фильмы на Яндексе Документальные фильмы

Список ru-вики Вики-сайты на русском языке Список крупных русскоязычных википроектов Каталог wiki-сайтов Русскоязычные wiki-проекты Викизнание:Каталог wiki-сайтов Научно-популярные сайты в Интернете Лучшие научные сайты на нашем портале Лучшие научно-популярные сайты Каталог научно-познавательных сайтов НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

• Страница — краткая статья
• Страница 1 — энциклопедическая статья
• Разное — на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
• Прошу вносить вашу информацию в «Число 1», чтобы сохранить ее

Получение названий числами

Прошло немало столетий, или даже тысячелетий, чтобы одинаковые числа стали относиться к различным предметам. В это время и возникли универсальные числовые названия.

Сформировать навыки приближенных вычислений, умения оперировать рациональными числами, Образовать знания о развитии понятия числа.

Задачи урока

Образовать представления развитии понятия о числе.

Научить выполнять приближенные вычисления .

3. Вoспитывaть интерес к изучаемому предмету, усидчивость, порядочность, стремление к достижению успехов в предстоящей профессиональной деятельности.

• Клетка элементарная единица живого конспект 10 класс

    

• Безлесные зоны на юге россии 8 класс конспект урока

    

• Состав слова 3 класс конспект открытого урока

    

• План конспект урока лабораторной работы по физике

    

• Конспект про балет и оперу

Зачем она нужна:

1. Для прикладных нужд: техники, физики, химии, биологии, программирования и т.д. Кроме того, одни области математики нужны для других.

2. Для знания, точного установления фактов, чтобы было меньше неизвестного, неясного и чтобы все могли пользоваться этими знаниями. Для воспитания дисциплины мышления и мыслительных способностей. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, так как эта наука уже абстрактна и строга, кроме того, исходная информация математической задачи доступна, ограничена и неизменна в отличие от ситуации в жизни.

3. Для получения такого же удовлетворения, как от игры или любого интересного дела. Математика привлекательна в этом отношении своей содержательностью, сложностью, строгостью построений, общностью выводов, простотой и неожиданностью результатов.

Число в философии[]

Философское понимание числа заложили пифагорейцы. Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытиё (то, что существует и мыслится само по себе), и неподлинное бытиё, (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Срединное положение между ними занимает число. Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Последние являются несовершенными подобиями первых. Аристотель, наоборот, приводит целый ряд аргументов, показывающих, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к нелепостям. Арифметика выделяет в этих реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения. Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы. Математические определения, разработанные в 19 веке, были серьёзно пересмотрены в начале 20 века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математических подхода: логицизм, интуиционизм и формализм. Философскую базу логицизма разработал Рассел. Он полагал, что истинность математических аксиом неочевидна. Истинность обнаруживается сведением к наиболее простым фактам. Отражением таких фактов Рассел считал аксиомы логики, которые он положил в основу определения числа. Важнейшим понятием у него является понятие класса. Натуральное число η есть класс всех классов, содержащих η элементов. Дробь — это уже не класс, а отношение классов. Интуицист Брауэр имел противоположную точку зрения: логику он считал лишь абстракцией от математики, рассматривал натуральный ряд чисел как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности. Гильберт, главный представитель формальной школы, видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в пределах которой можно бы было формально обосновать любое математическое понятие. В разработанной им аксиоматической теории действительных чисел представление о числе лишается всякой глубины и сводится лишь к графическому символу, подставляемому по определённым правилам в формулы теории.

Слайд 4Из истории чисел. На этом развитие не завершилось. В связи с

решением уравнений математики встречались с числом, которое выражалось

С развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа, уметь их записывать. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа, и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

.Оно получило название мнимой единицы. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые «мнимые числа» получили свое место в множестве комплексных чисел.

Тема I. Числовые системы и приближенные вычисления

1. Введение. Развитие понятия числа.
2. Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
3. Уравнения и неравенства с одной переменной.
4. Уравнения, приводимые к квадратным.
5. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
6. Системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
7. Системы нелинейных уравнений.
8. Зачетное занятие по теме.

9. Домашнее задание № 1.
10. Домашнее задание № 2.
11. Контрольные (зачетные) вопросы по теме.
12. Рубежный контроль (контрольная работа. Примерный вариант)
13. Практическая работа № 1.
14. Задания для самостоятельной работы.
15. Литература.

В результате изучения темы студенты должны знать

• Числовые множества: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел;
• Формулы решения квадратного уравнения, разложения квадратного трехчлена на линейные множители;
• Правила составления и вычисления определителей второго и третьего порядков применительно к решению систем линейных уравнений;
• Применение метода интервалов к решению рациональных неравенств.

В результате изучения темы студенты должны уметь:

• Выполнить с заданной точностью на инженерном или программируемом микрокалькуляторе (в режиме вычислений) арифметические действия;
• Вычислять значения элементарных функций;
• Выполнять действия над алгебраическими дробями;
• Решать уравнения с одной переменной первой и второй степени, биквадратных, иррациональных и др.
• Выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме;
• Решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом;
• Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной, системы линейных неравенств;
• Решать системы линейных и нелинейных уравнений.

Обобщения чисел[]

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается H{\displaystyle \mathbb {H} }. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы O{\displaystyle \mathbb {O} }, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы S{\displaystyle \mathbb {S} } не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение: C⊂H⊂O⊂S{\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} }

p-адические числа Qp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел R{\displaystyle \mathbb {R} } определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a_∞,a₂,a₃,…a_p…}, где a_∞ — любое действительное число, а a_p — p-адическое, причём все a_p, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.

Предварительный просмотр:

ТЕМА 1 РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

Разработчик: преподаватель 1 категории Н.В.Васильева

Урок № 1. ВВЕДЕНИЕ

Аудиторное теоретическое занятие

— сформировать основные представления о предмете;

— воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

— воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

— вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

— формировать навыки познавательного мышления;

— формировать умения и навыки учебного труда.

Задачи: 1. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

I. Организационный момент.

II. Новая тема:»Введение»1.Теоретическая часть.

III. Итог. 1. По вопросам.

I. Организационный момент.

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Основные классы чисел[]

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N{\displaystyle \mathbb {N} }. То есть N={1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,…\right\}} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N={,1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,…\right\}}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа P.{\displaystyle \mathbb {P} .} Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: 2,3,5,7,11,13,17,…{\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,…} Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=24·32·7·112.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z={…−2,−1,,1,2,…}{\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{…-2,-1,0,1,2,…\right\}}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q{\displaystyle \mathbb {Q} } (от лат. quotient).

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R{\displaystyle \mathbb {R} }. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R{\displaystyle \mathbb {R} } включает множество иррациональных чисел I{\displaystyle \mathbb {I} }, не представимых в виде отношения целых.

Комплексные числа C{\displaystyle \mathbb {C} }, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z=x+iy{\displaystyle z=x+iy}, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: P⊂N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.{\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}

1,2,…{\displaystyle 1,\;2,\;\ldots } Натуральные числа −1,,1,…{\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots } Целые числа −1,1,12,,12,23,…{\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;\;0{,}12,{\frac {2}{3}},\;\ldots } Рациональные числа −1,1,,12,12,π,2,…{\displaystyle -1,\;1,\;\;0{,}12,{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } Вещественные числа −1,12,,12,π,3i+2,eiπ3,…{\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots } Комплексные числа 1,i,j,k,2i+πj−12k,…{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots } Кватернионы 1,i,j,k,l,m,n,o,2−5l+π3m,…{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots } Октонионы

1,e1,e2,…,e15,7e2+25e7−13e15,…{\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots }

Седенионы

Что такое математика.

При решении математической задачи человек имеет дело с ограниченным набором объектов, имеющих четкие отношения друг с другом. В жизни же, наоборот, их количество очень велико, а отношения между ними достаточно размыты.

Первоначально математика брала, например, такие объекты из окружающей действительности, как числа и геометрические фигуры. В отличие от физики эта точная наука изучает закономерности отношений, не зависящие от физического устройства этого мира. В ней утверждается, что из одних отношений объектов могут быть логически выведены другие отношения между ними. Начальные свойства и способы логического вывода человек берет из жизни, воспроизводя разные ситуации с реальными объектами или представляя их умозрительно и обращаясь к своему опыту. Далее он использует только специально сформулированные понятия, образы, в том числе рисунки и правила вывода одних утверждений из других. Мышление, оторванное от понятий, доступных органам чувств, можно назвать абстрактным. Преобразование информации по четко определенным законам и без ошибок можно назвать строгим. Выводы, сделанные математикой, будут правильны в жизни, если исходная информация была верна. Другим путем, кроме как с помощью строгого абстрактного математического подхода, в сложных явлениях реального мира, особенно в технике, где много логических связей, зачастую нельзя получить точную информацию.

После четкой формулировки исходных свойств объектов и способа вывода из одних свойств других, процесс вывода можно формализовать, то есть свести к механическим преобразованиям информации. Но, чтобы решать задачи, нужен алгоритм, совершающий эти преобразования наиболее эффективным путем. Математик, в основном, обладает этим методом наиболее быстрого решения задач, но его алгоритм не формализован и в большой степени основан на методах и рефлексах, заложенных от природы или выработанных в процессе реальной жизни. Поэтому составление такого алгоритма — задача нетривиальная.