Топ вопросов за вчера в категории Математика
Математика 08.06.2023 18:57 5100 Костромитинова София
в классе учится 30 детей в течение недели учительница поставила журнал несколько оценок по математик
Ответов: 1
Математика 01.07.2023 22:07 861 Губачёв Максим
Дима задумал четырёхзначное число. Он заметил, что если прибавить к задуманному числу сумму его цифр
Ответов: 2
Математика 30.09.2023 12:54 937 Аниськина Алина
На некотором участке газопровода трубы длинной 4 м заменили на трубы длинной 5 м. Сколько нужно новы
Ответов: 2
Математика 20.07.2023 20:18 1860 Мельникова Света
Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого прямоугольника 5 на 7?
Ответов: 2
Математика 15.06.2023 19:03 379 Вишня Катя
Вася разбил экран калькулятора, и теперь там видна только последняя цифра — 9. Последней операцией,
Ответов: 1
Математика 07.04.2021 17:34 1498 Шамаева Карина
Найди площадь фигур (1) 10м 5м 4м 4м (2) 18 дм 30дм 20дм 15дм
Ответов: 2
Математика 22.06.2023 15:47 1391 Князева Валерия
2. ПОСТРОИТЬ КРУГОВУЮ ДИАГРАММУ «Океаны» Площадь водной поверхности океанов составляет: Тихий океа
Ответов: 3
Математика 16.06.2023 16:59 1058 Сокіл Артур
СРОЧНО сколько цветочков из крема поместится на верхний ярус торта по периметру, если диаметр одного
Ответов: 2
Математика 08.07.2023 14:14 1036 Олицкая Софья
В таблице собраны данные о дальности перелетов на зимовку некоторых птиц. составьте столбиковую диаг
Ответов: 1
Математика 14.06.2023 13:54 253 Здобникова Анна
На рисунке изображено пять одинаковых квадратов, площадь каждого квадрата равна 16 см2. Вершины за
Ответов: 1
Свойство перпендикулярных прямых
Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.
У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.
Попробовать бесплатно
Мы в инстаграм
Домашняя онлайн-школаПомогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством
Посмотреть
Звонок по России бесплатный
Посмотреть на карте
Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.
Что такое перпендикулярные линии и углы?
Перпендикулярные линии образуют прямой угол, который равен 90 градусам. Такой угол представляет собой половину прямого угла, который равен 180 градусам.
Перпендикулярные углы — это пары углов, образованные двумя пересекающимися перпендикулярными линиями. Перпендикулярные углы имеют равную величину и обозначаются буквой «с». Например, если две перпендикулярные линии образуют угол АВС, то уголы ВСА, ВСВ и ВСС будут перпендикулярными углами.
Перпендикулярные линии и углы имеют несколько свойств:
| Свойство | Описание |
| Единственность | Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. |
| Взаимное расположение линий | Перпендикулярные линии образуют прямой угол, а две параллельные прямые линии пересекаются под прямым углом. |
| Сумма перпендикулярных углов | Сумма перпендикулярных углов равна 180 градусов. |
Перпендикулярные линии и углы широко применяются в решении геометрических задач и являются основными элементами геометрических построений.
Практическое применение перпендикулярных сторон одного угла
Перпендикулярные стороны одного угла встречаются во многих областях науки и техники, таких как геометрия, архитектура, строительство, электроника и другие. Этот геометрический концепт имеет множество практических применений, о которых стоит узнать углубленнее.
Архитектура и строительство
В архитектуре и строительстве перпендикулярные стороны одного угла используются при построении фундамента зданий, постановке стен и каркасов, установке окон и дверей, а также при выполнении разметки помещений и расположения мебели. Этот концепт помогает инженерам и архитекторам строить устойчивые и эффективные конструкции, которые выдержат любые нагрузки.
Электроника
В электронике перпендикулярные стороны одного угла используются при создании печатных плат, которые являются основой электрических устройств. Этот концепт позволяет располагать компоненты печатной платы в определенных местах, что влияет на работу электронного устройства в целом.
Механика
В механике перпендикулярные стороны одного угла используются при расчете углов наклона подъемных механизмов, например, грузовых лифтов. Их правильное расположение обеспечивает безопасность и продолжительность работы механизма.
Геометрия
В геометрии перпендикулярные стороны одного угла используются для решения различных задач, связанных с построением фигур, нахождением высот и биссектрис треугольников, построением ортогональных проекций и других пространственных объектов. Основанный на концепте перпендикулярности принцип используется при решении известных геометрических задач.
Определение перпендикулярных прямых
Мы готовы ответить, какие прямые называются перпендикулярными:
Чтобы доказать, что каждый из углов будет прямым, разметим на чертеже оставшиеся углы — углы $\beta$, $\gamma$ и $\delta$. Применим к ним доказанные нами ранее теоремы о вертикальных и смежных углах, при условии, что определение перпендикулярных прямых задает $\angle{\textcolor{purple}{\alpha}}=90^\circ.$
Доказательство
Угол $\beta$ — смежный с углом $\alpha$. Известно, что сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$. Если угол $\alpha=90^{\circ}$, то получаем, что:
$$\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$$
Вертикальные углы равны. Угол $\beta$ вертикален углу $\delta$, следовательно угол $\delta$ так же, как и $\beta$, равняется $90^{\circ}$. Аналогичное применимо и к другой паре вертикальных углов — углам $\alpha$ и $\gamma$.
Имеем:
$$\begin{cases}\alpha=90^{\circ}\\\beta=90^{\circ}\\\gamma=90^{\circ}\\\delta=90^{\circ}\end{cases}$$
Перпендикулярные прямые при пересечении образуют только прямые углы. Что и требовалось доказать.
{"questions":[{"content":"`image-1`Проверим, внимательны ли вы. Прямой угол на чертежах имеет индикацию, отличающуюся от прочих углов. Так ли это? `choice-10`","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/perp-question.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":,"explanations":["<i>А вы внимательно смóтрите на чертежи. Наше почтение!</i>",""],"answer":}}}]}
Кратная вводная
Для работы с перпендикулярными прямыми нам потребуются два вида углов: смежные и вертикальные.
1.1.Смежные углы
Вот пример смежных углов с общей стороной $MN$:
Основное свойство таких углов: их сумма всегда равна 180°:
\
Таким образом, зная один смежный угол, мы тут же найдём другой.
1.2. Вертикальные углы
На самом деле на пересечении двух прямых возникает сразу две пары таких углов:
Вертикальные углы всегда равны — и это их главное свойство. На рисунке мы видим, что $\angle 1=\angle 3$ и $\angle 2=\angle 4$.
1.3. Какие бывают углы
И вообще, нам пока известны четыре типа углов: острый, прямой, тупой и развёрнутый.
Интересное свойство прямого угла: если при пересечении двух прямых возник прямой угол, то все остальные углы (вертикальные, смежные с ним) тоже будут прямыми. И вот тут мы переходим к основной теме урока.
Примеры перпендикулярности в природе
Перпендикулярные стволы деревьев
Одним из примеров перпендикулярности в природе является рост деревьев. Вертикально взращенные стволы деревьев создают перпендикулярное отношение между землей и ветками, образуя прямые углы. Это помогает дереву максимально использовать свет и пространство для роста и развития.
Перья птиц
Перья птиц также часто имеют перпендикулярные структуры. Форма перьев позволяет птицам летать и маневрировать в воздухе. Подобное расположение перьев создает специальную структуру, которая обеспечивает максимальную поддержку и устойчивость во время полета.
Распределение корней растений
Корни растений также могут иметь перпендикулярную ориентацию. Корни стремятся найти оптимальные условия для поглощения воды и питательных веществ из почвы. Их перпендикулярное распределение обеспечивает максимальную площадь контакта с почвой, что способствует эффективному поглощению веществ и укреплению растения в грунте.
Подводные структуры
В морских глубинах можно наблюдать перпендикулярные структуры, такие как коралловые рифы или каменистые образования на морском дне. Эти структуры создаются природными факторами и процессами, такими как течения или отложения осадков. Они обеспечивают устойчивость и поддержку для различных форм жизни под водой.
Ледяные образования
Ледяные образования, такие как айсберги или глетчеры, также встречаются с перпендикулярными структурами. Они образуются в результате долговременного образования и сжатия льда. Перпендикулярные трещины и слои льда обеспечивают прочность и устойчивость этих образований во время движения и распада.
Интересная задача
Есть такая задача:В Заколдованном Лесу било 10 заколдованных источников — номер 1, 2, 3,… 10. Вода каждого источника была неотличима на цвет, вкус и запах от обычной воды, но являлась сильнейшим ядом. Выпивший её был обречён — если только в течение часа после этого не пил воды источника с бОльшим номером (например, от яда источника 3 спасали источники 4-10; яд 10-го источника не оставлял шансов на спсасение). Первые 9 источников были общедоступны, но источник 10 был в пещере Кащея Бессмертного, и доступ к нему имел только Кащей.И вот однажды Иван-Дурак вызвал Кащея на поединок. Условия были простыми: каждый приносит с собой по стакану некоторой жидкости, соперники обмениваются стаканами и выпивают их содержимое. А дальше — справляются, как могут.Кащей был доволен. Ещё бы: он даст Ивану яд номер 10, и Ивана ничто не сможет спасти. А сам он яд, данный Иваном, запьёт водой 10-го источника — и будет спасён.Попробуйте разработать план дуэли для Ивана. Задача — остаться жить самому и прикончить Кащея.Ответ 1. Угробить Кащея. Ему нужно дать не яд, а чистую воду. Он запьёт её своим ядом — и он обречён.Ответ 2. Не угробиться самому. Любой яд, кроме номера 1, может являться и противоядием. Перед тем, как придти на дуэль, нужно выпить яд малого номера. И тогда яд номер 10, полученный от Кащея на дуэли, не убьёт, а спасёт.Вообще, идея-то тривиальная. Не всегда можно взвесить поступок изолированно. Одно и то же действие может оказаться и ядом, и противоядием. Многое зависит от фона. Не буду говорить, что всё — но, несомненно, многое.И когда вы слышите, что кто-то из ваших знакомых совершил Такую-То и Такую-То Гадости, не спешите вешать ярлыки. Уверены ли вы, что это именно гадости? Не может ли быть, что они просто выглядят так? Уверены ли вы, что фон этих действий вам известен?
Теорема о перпендикулярных прямых
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.
Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.
Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.
Определение перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые.
Пусть а и b — прямые, пересекающиеся в точке А (рис. 1). Каждая из этих прямых точкой А делится на две полупрямые. Полупрямые одной прямой образуют с полупрямыми другой прямой четыре угла. Пусть альфа — один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом альфа, либо вертикальным с углом альфа.
Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже будут прямые, В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом.Определение.Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 2).
Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥ Запись а ⊥ b читается: Прямая а перпендикулярна прямой b.Теорема.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство.Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через ах одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 3). Отложим от полупрямой а1 угол (a1b1), равный 90°.Тогда прямая, содержащая луч b1, будет перпендикулярна прямой а.
Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b2. Углы (a1b1) и (a1c1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а1. Но от полупрямой а1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.
Определение.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.На рисунке 4 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка В — основание перпендикуляра.
Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 5).
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Перпендикулярность прямых АС и ВD обозначается так: АС ⊥ ВD (читается: «Прямая АС перпендикулярна к прямой ВD»).Отметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (рис. 6,а). В самом деле, рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой РQ (рис. 6,б). Мысленно перегнем рисунок по прямой РQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1. Аналогично, луч QВ наложится на луч QB1. Поэтому, если предположить, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, то эта точка наложится на некоторую точку М1 также лежащую на этих прямых (рис. 6,в), и мы получим, что через точки М и М1 проходят две прямые: АА1 и ВВ1. Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.
Что такое перпендикулярные стороны одного угла?
Понятие перпендикулярных сторон — это участки линий, расположенные на одной плоскости и ограничивающие угол. Эти стороны имеют свойство пересекаться под прямым углом.
Другими словами, если мы возьмем отрезок линии и поставим его вертикально на угловую линию, то они будут пересекаться под прямым углом. Таким образом, мы получаем две перпендикулярные стороны, формирующие угол, который называется прямым.
Перпендикулярные стороны одного угла играют важную роль в математике, геометрии и физике. Например, в геометрии мы можем использовать это свойство, чтобы находить площадь прямоугольника или параллелограмма, а в физике это свойство помогает рассчитывать силу, направленную перпендикулярно к углу.
Примеры использования перпендикулярных сторон одного угла:
- Построение перпендикулярной линии для измерения расстояния;
- Работа с треугольниками, где одна из сторон является перпендикулярной линии;
- Построение углов на картах и планах зданий;
- Рассчет моментов сил, направленных перпендикулярно к углу.
Примеры перпендикулярности в архитектуре
В геометрии перпендикулярность — это свойство двух линий, поверхностей или отрезков быть взаимно перпендикулярными. Однако это понятие также находит применение и в архитектуре, где перпендикулярность является важным элементом при создании различных строений.
Вот некоторые примеры перпендикулярности в архитектуре:
-
Фасады зданий: Перпендикулярные линии и поверхности часто используются в архитектуре для создания гармоничного внешнего вида зданий. Например, вертикальные столбы и горизонтальные балки, формирующие фасад, могут быть расположены перпендикулярно друг другу, создавая четкие и симметричные линии.
-
Планировка помещений: При планировке помещений в зданиях, перпендикулярность может использоваться для определения точек расположения стен, окон и дверей. Например, перпендикулярные стены образуют прямоугольные комнаты, что удобно для меблировки и обеспечивает эффективное использование пространства.
-
Строительные элементы: Во время строительства, перпендикулярность используется для обеспечения правильной геометрии различных элементов. Например, строители могут использовать перпендикулярные направления для проверки горизонтальности стен или кровли, что является важным элементом в обеспечении безопасности и прочности конструкции.
Это лишь несколько примеров того, как перпендикулярность применяется в архитектуре
Важно понимать, что перпендикулярность играет существенную роль в создании прочных, эстетически приятных и функциональных строений
Что такое углы со взаимно перпендикулярными сторонами?
Углы со взаимно перпендикулярными сторонами имеют ряд особенностей. Во-первых, все углы в данной системе координат считаются прямыми углами и равны 90 градусам. Во-вторых, они являются важными для геометрии и используются при решении различных задач.
Примером углов со взаимно перпендикулярными сторонами может служить угловое соединение двух перпендикулярных прямых. В таком случае образуется четыре прямых угла, каждый из которых равен 90 градусам.
Углы со взаимно перпендикулярными сторонами являются основополагающими элементами в геометрии и используются в различных областях, включая архитектуру, инженерию и физику. Они позволяют определить направление и ориентацию объектов в пространстве.
Прямоугольный треугольник: углы и стороны
Углы в прямоугольном треугольнике:
- Прямой угол: это угол, который равен 90 градусам и обозначается символом ∠
- Острый угол: это угол, который меньше 90 градусов
- Тупой угол: это угол, который больше 90 градусов, но меньше 180 градусов
В прямоугольном треугольнике сумма всех углов всегда равна 180 градусов. Поэтому, если один угол равен 90 градусам, то два других угла должны в сумме составлять 90 градусов (острый угол и тупой угол).
Строны в прямоугольном треугольнике:
- Гипотенуза: это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, которая находится напротив прямого угла
- Катеты: это две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол
Соотношения между сторонами в прямоугольном треугольнике:
- Теорема Пифагора: гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. Это выражение записывается следующим образом: a^2 + b^2 = c^2, где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы
- Формула для нахождения длины гипотенузы: c = sqrt(a^2 + b^2), где sqrt — квадратный корень
- Формулы для нахождения длины катета: a = sqrt(c^2 — b^2) и b = sqrt(c^2 — a^2)
Примеры прямоугольных треугольников:
- Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, так как 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, что равно 5^2
- Треугольник со сторонами 5, 12 и 13 также является прямоугольным, так как 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, что равно 13^2
Примеры перпендикулярных сторон одного угла в геометрии
Перпендикулярные стороны одного угла в геометрии — это две стороны, начинающиеся в одной точке и расположенные под прямым углом друг к другу. Несколько примеров:
- Прямоугольник — это фигура с четырьмя углами, каждый из которых имеет две перпендикулярные стороны.
- Ромб — это фигура с четырьмя равными сторонами, каждая из которых является перпендикулярной к соседней.
- Трапеция — это фигура с двумя параллельными сторонами и двумя перпендикулярными сторонами, которые соединяют соответствующие концы параллельных сторон.
- Квадрат — это фигура, у которой все четыре стороны равны и каждая перпендикулярна к соседней.
Перпендикулярные стороны одного угла важны для геометрии, так как они позволяют определить многоугольник и его свойства. Известно, что прямоугольник, ромб и квадрат являются частными случаями параллелограмма, у которого все стороны перпендикулярны друг к другу. Трапеция также имеет много интересных свойств, связанных с перпендикулярными сторонами.
Теорема о перпендикулярных прямых, как доказать
Задачи на перпендикулярные прямые, как правило, решают с учетом свойств этих линий. Доказательством перпендикулярности прямых является прямой угол, который они составляют. В том случае, когда требуется определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, следует применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности линий.
Теорема 1
Теорема 1
Для того чтобы прямые a и b являлись перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b.
Подтверждением данной теоремы является определение направляющего вектора прямой и перпендикулярности линий.
Допустим, что имеется прямоугольная декартовая система координат Оху, на которой заданы уравнения для прямой на плоскости, определяющие линии а и b. Направляющие векторы, характерные для данных прямых а и b, можно обозначить, как:
\(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
Согласно формуле прямых а и b, необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}.\)
Данное утверждение справедливо в том случае, когда скалярное произведение векторов:
\(\vec{a}=(a_{x};a_{y})\) и \(\vec{b}=(b_{x};b_{y})\) не равно нулю, а запись обладает таким видом:
\((\vec{a};\vec{b})=a_{x}*b_{x}+a_{y}*b_{y}=0\)
Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности линий а и b, которые расположены в прямоугольной системе координат Оху на плоскости, представляет собой следующее выражение:
\((\vec{a};\vec{b})=a_{x}*b_{x}+a_{y}*b_{y}=0\)
где \(\vec{a}=(a_{x};a_{y})\) и \(\vec{b}=(b_{x};b_{y})\) являются направляющими векторами линий а и b.
Данную теорему целесообразно использовать в том случае, когда требуется определить координаты направляющих векторов, либо, когда известны канонические или параметрические уравнения прямых на плоскости заданных линий а и b.
Примечание
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых а и b можно применять в случае трехмерного пространства.
В данном отношении запись будет иметь такой вид:
\((\vec{a};\vec{b})=a_{x}*b_{x}+a_{y}*b_{y}+ a_{z}*b_{z}=0\)
где \(\vec{a}=(a_{x};a_{y})\)
\(\vec{b}=(b_{x};b_{y})\)
\(\vec{z}=(z_{x};z_{y})\)
являются направляющими векторами прямых а и b.
Теорема 2
Теорема 2
Линии а и b на плоскости будут перпендикулярны, если нормальный вектор прямой а и вектор прямой b взаимно перпендикулярны. Данное условие считается необходимым и достаточным.
Доказательство этой теоремы заключается в применении рассматриваемого условия в том случае, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. Таким образом, имея общее уравнение прямой вида:\(
A_{x}+B_{y}+C=0\)
а также уравнение прямой в отрезках вида:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
и уравнение прямой с угловым коэффициентом вида y = kx + b, координаты векторов можно определить.
В том случае, когда линия а на плоскости определена с помощью уравнения с угловым коэффициентом:
\(y=k_{1}x+b_{1}\)
и прямая b имеет вид:
\(y=k_{2}x+b_{2}\)
тогда координаты нормальных векторов будут следующие:
\((k_{1};-1)\) и \((k_{2};-1)\)
Условие перпендикулярности соответствует выражению:
\(k_{1}*k_{2}+(-1)*(-1)=0\Leftrightarrow k_{1}*k_{2}=-1\)
Теорема 3
Теорема 3
Прямые а и b перпендикулярны на плоскости при необходимом и достаточном условии, при котором один из направляющих векторов этих линий будет коллинеарным нормальному вектору второй прямой.