Экспоненциальная зависимость это кратко

Метод 2: Подход с постоянным падением напряжения

Когда мы используем метод, описанный в предыдущем разделе, мы анализируем схему, как будто диоды идеальны, то есть они работают для тока как идеальные односторонние клапаны. Мы можем сделать этот метод намного более реалистичным, просто добавив идеальную батарею, которая представляет падение напряжения на диоде.

Батарея становится внутренней частью всего компонента диода, как показано на следующей схеме.

Поскольку напряжение идеальной батареи является фиксированным и постоянным, этот метод анализа соответствует упрощенной модели диода, состоящей из двух дискретных состояний: если напряжение между анодом и катодом на диоде меньше 0,7 В, диод заперт и действует как разомкнутая цепь; если напряжение больше или равно 0,7 В, диод проводит ток с нулевым сопротивлением, но вызывает падение напряжения на 0,7 В (вам не обязательно использовать значение 0,7 В в качестве постоянного падения напряжения, но это стандартный выбор для типовых кремниевых диодов).

Понимание модели с постоянным падением напряжения

Если вам непонятно, как работает эта модель, обратите внимание, что полярность батареи противоположна направлению прямого тока, протекающего через диод. Таким образом, ток не может течь от анода к катоду, пока прямое напряжение не превысит напряжение батареи, а это означает, что батарея создает пороговое условие для проводимости диода

Также обратите внимание, что батарея не создает паразитный ток, который мешает нашему анализу схемы, потому что идеальный диод не позволяет току течь в направлении от катода к аноду.

После перехода в режим проводимости напряжение батареи становится обычным падением напряжения. Опять же, давайте рассмотрим полярность батареи. Представьте себе резистор на месте батареи; мы представили бы падение напряжения на резисторе, нарисовав плюс слева и минус справа, и мы знаем, что эта ориентация указывает на падение напряжения при движении по пути прохождения тока. Батарея имеет ту же ориентацию полярности, и, таким образом, она также представляет падение напряжения, в этом случае вызванное диодом, а не резистора.

Возраст археологических останков

Еще одним ярким примером природных процессов, которые происходят согласно экспоненциальному закону, является распад радиоактивных элементов. Это физическое явление, которое заключается в превращении ядер тяжелых элементов в ядра более легких, описывается следующей математической формулой: N_t = N*e -k*t , где N_t и N — количество ядер более тяжелого элемента в момент времени t и в начальный момент соответственно. Из этой формулы видно, что она практически аналогична таковой для роста биологической популяции, единственное отличие заключается в знаке «минус» в показателе экспоненты, который говорит об убыли тяжелых ядер.

Отмеченную формулу используют для определения возраста горных пород и окаменелых организмов. В последнем случае работают с изотопом углерода 14 C, поскольку его период полураспада (время, за которое начальное число тяжелых ядер уменьшится вдвое) является относительно небольшим (5700 лет).

Непрерывные дроби для e

A непрерывная дробь для e можно получить с помощью тождества Эйлера :

ex = 1 + x 1 — xx + 2 — 2 xx + 3 — 3 xx + 4 — ⋱ {\ displaystyle e ^ {x} = 1 + {\ cfrac {x} {1 — {\ cfrac {x} {x + 2 — {\ cfrac {2x} {x + 3 — {\ cfrac {3x} {x + 4- \ ddots}}}}} }}}}

Следующая обобщенная цепная дробь для e сходится быстрее:

ez = 1 + 2 z 2 — z + z 2 6 + z 2 10 + z 2 14 + ⋱ {\ Displaystyle е ^ {z} = 1 + {\ cfrac {2z} {2-z + {\ cfrac {z ^ {2}} {6 + {\ cfrac {z ^ {2}} {10 + {\ cfrac) {z ^ {2}} {14+ \ ddots}}}}}}}}

или, применив замену z = x / y:

exy = 1 + 2 x 2 y — x + Икс 2 6 Y + Икс 2 10 Y + Икс 2 14 Y + ⋱ {\ Displaystyle e ^ {\ frac {x} {y}} = 1 + {\ cfrac {2x} {2y-x + {\ cfrac {x ^ {2}} {6y + {\ cfrac {x ^ {2}} {10y + {\ cfrac {x ^ {2}} {14y + \ ddots}}}}}}}}

со специальным случаем для z Знак равно 2:

е 2 = 1 + 4 0 + 2 2 6 + 2 2 10 + 2 2 14 + ⋱ = 7 + 2 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + ⋱ {\ displaystyle e ^ {2 } = 1 + {\ cfrac {4} {0 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {6 + {\ cfr ac {2 ^ {2}} {10 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {14+ \ ddots \,}}}}}}}} = 7 + {\ cfrac {2} {5 + {\ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {9 + {\ cfrac {1} {11+ \ ddots \,}}}}}}}}}

Эта формула также сходится, хотя и медленнее, для z>2. Например:

e 3 = 1 + 6 — 1 + 3 2 6 + 3 2 10 + 3 2 14 + ⋱ = 13 + 54 7 + 9 14 + 9 18 + 9 22 + ⋱ {\ displaystyle e ^ { 3} = 1 + {\ cfrac {6} {- 1 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {10 + {\ cfrac {3 ^ {2}} } {14+ \ ddots \,}}}}}}}} = 13 + {\ cfrac {54} {7 + {\ cfrac {9} {14 + {\ cfrac {9} {18 + {\ cfrac { 9} {22+ \ ddots \,}}}}}}}}}

Что такое экспоненциальная функция?

Экспоненциальная функция — это математическая функция, которая описывает рост или уменьшение величины с учетом процента изменения на каждом шаге. Обычно экспоненциальную функцию записывают в виде f(x) = a * b^x, где а — начальное значение функции, b — основание экспоненциальной функции, а x — переменная, которая определяет значение функции в конкретный момент времени.

Основание экспоненциальной функции обычно выбирают больше единицы, тогда при каждом шаге функция будет увеличиваться, что называется ростом экспоненциальной функции. Если же основание меньше единицы, функция будет уменьшаться, что называется убыванием экспоненциальной функции.

Функции, которые описывают экспоненциальный рост, широко используются в науке, экономике, физике, биологии и других областях. Например, экспоненциальный рост может происходить при увеличении популяции животных, росте населения, развитии технологий и многое другое.

Для определения экспоненциальной функции необходимо знать начальное значение функции и ее скорость роста (или убывания). Часто для анализа данные рассматривают в логарифмическом масштабе, что позволяет упростить описание экспоненциальной функции и удобно представить ее на графиках.

• Если основание экспоненты больше единицы, то функция возрастает.
• Если основание экспоненты равно единице, то функция постоянна (f(x)=a).
• Если основание экспоненты меньше единицы, то функция убывает.

Экспоненциальная функция может расти или уменьшаться в различных темпах, что определяется ее параметрами. Например, при значительно большом значении начального значения функции и близких к единице параметрах рост может быть очень быстрым.

Функции с различным основанием
x
b=2
b=1.5
b=0.5

1
1
1

1
2
1.5
0.5

2
4
2.25
0.25

3
8
3.375
0.125

Основные применения экспоненциального роста

1. В экономике

В экономической теории экспоненциальный рост является одним из основных инструментов моделирования экономических процессов. Он применяется для анализа тенденций роста производства и продаж продукции, а также при исследовании динамики цен и инфляции.

2. В науке

Экспоненциальный рост имеет широкое применение в различных научных областях, включая физику, биологию, медицину и технические науки. Он может служить моделью для исследования роста популяций, распространения заболеваний и сохранения энергии.

3. В технологиях

Экспоненциальный рост применяется при разработке и оценке новых технологий, так как он может помочь прогнозировать скорость роста рынка и потребительского спроса. Он также может применяться при анализе производительности устройств и технологических процессов.

4. В финансовых инструментах

Экспоненциальный рост имеет важное значение в финансовых вычислениях, таких как процентные ставки и доходность инвестиций. Он используется при расчете будущей стоимости активов, таких как облигации и акции, а также при моделировании рисков и доходности портфелей инвестиций

5. В социальных науках

Экспоненциальный рост может применяться в исследовании различных социальных явлений, таких как рост населения и увеличение социальных групп. Он может быть использован для анализа изменений в социальном и экономическом развитии государств и регионов, а также для определения перспектив развития.

Другие процессы, подчиняющиеся экспоненциальному закону

Экспоненциальная зависимость описывает многие процессы в экономике, химии и медицине. Например, дозы медикаментов, попавших в организм человека, уменьшаются во времени по экспоненциальному закону. В экономике инвестиционная прибыль, исходя из определенного начального капитала, рассчитывается также по экспоненциальному закону.

Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).

Свойства экспоненциальной функции

Ниже приведены общие свойства любой экспоненциальной функции:

— График любой экспоненциальной функции всегда пересекает вертикальную ось в точке (0,1), как видно на рисунке 2. Это связано с тем, что b 0 = 1 для любого значения b.

-Экспоненциальная функция не пересекает ось x, фактически эта ось является горизонтальной асимптотой для функции.

-С б 1 = b, точка (1, b) всегда принадлежит графику функции.

-Область показательной функции состоит из набора действительных чисел и f (x) = b Икс он непрерывен во всей своей области.

— Диапазон экспоненциальной функции — это все действительные числа больше 0, что также можно увидеть на графике.

-Экспоненциальная функция является взаимно однозначной, то есть каждое значение x, принадлежащее области определения функции, имеет уникальное изображение в наборе прибытия.

-Обращение к экспоненте — логарифмическая функция.

Экспоненциальный рост: понятие и примеры

Экспоненциальный рост — это рост в соответствии с экспоненциальной функцией, где значение увеличивается с возрастанием времени в геометрической прогрессии. Отсюда следует, что значения функции увеличиваются очень быстро.

Аналогией экспоненциального роста может служить популяция бактерий. Есть организмы, размножающиеся в прогрессии. Например, если у нас есть 2 бактерии, которые размножаются каждые 10 минут в пропорции 2:4:8:16, то через час у нас будет 2 в 6 степени бактерий, т. е. 64. Это эффект экспоненциального роста.

Еще одним примером экспоненциальной зависимости являются финансы. К примеру, если мы положим в банк 1000 рублей с процентами и каждый год будем получать 10% процентов от первоначальной суммы и оставим полученные 100 рублей на вкладе, то через 7 лет мы будем иметь на счете уже 2000 рублей, а через 20 лет — уже 6730 рублей. Это тоже является закономерностью экспоненциального роста.

Также экспоненциальный рост характерен для всех новых технологий, таких как телефоны, интернет, социальные сети и т.д. Сначала они появляются и развиваются очень медленно, но затем, по мере того, как люди находят все больше способов использовать эти технологии, их популярность и влияние возрастают экспоненциально.

В целом, экспоненциальный рост может иметь как позитивные, так и негативные последствия, в зависимости от того, как он используется. Но в любом случае, понимание этой концепции дает нам новые возможности в планировании и управлении различными процессами.

Связь между током и напряжением у диода

Когда вы прикладываете напряжение к двум выводам диода с более высоким напряжением на стороне анода и более низким напряжением на стороне катода, начинает протекать прямой ток (то есть ток от анода к катоду). Если напряжение увеличивается, будет увеличиваться и прямой ток, и в этом случае диод будет похож на резистор: большее напряжение приводит к большему току.

Однако если мы внимательно посмотрим на то, как увеличивается ток, мы увидим, что диоды сильно отличаются от резисторов. Если мы будем постоянно увеличивать напряжение на резисторе, мы получим неуклонно увеличивающийся ток. При использовании диода, напротив, постоянно увеличивающееся напряжение будет создавать ток, который сначала увеличивается медленно, затем быстрее и, в конечном итоге, очень быстро.

Это происходит потому, что связь между прямым напряжением диода и его прямым током является экспоненциальной, а не линейной.

На следующем графике зависимости тока диода (I_д) от напряжения диода (V_д) показана экспоненциальная вольт-амперная характеристика типового кремниевого диода.

Рисунок 1 – Вольт-амперная характеристика диода

Как вы можете видеть, прямой ток практически не протекает, когда прямое напряжение ниже 0,5 В. Это область, в которой ток медленно увеличивается относительно роста напряжения.

Переходная область, в которой скорости изменения напряжения и тока более сопоставимы, начинается с около 0,5 В. Однако эта переходная область довольно узкая, и к тому времени, когда V_д достигает 0,7 В, ток диода увеличивается так быстро, что очень маленькие изменения прямого напряжения создают большие изменения прямого тока.

Что такое экспоненциальный рост?

Экспоненциальный рост — это увеличение количества или размера чего-то на постоянно увеличивающуюся величину в определенный промежуток времени. Примерами экспоненциального роста могут быть рост населения, возрастание числа зараженных вирусом, рост доходов компании, увеличение пользователей интернет-сервиса и другие.

Экспоненциальный рост часто отличается от линейного тем, что происходит внезапное ускорение роста в какой-то момент времени, когда то, что растет, начинает увеличиваться в более быстром темпе. Это создает дополнительные сложности при определении и прогнозировании будущего роста, потому что небольшое изменение в начальных условиях может иметь большое влияние на результат.

Для определения экспоненциального роста можно использовать математические формулы, такие как формула экспоненциального роста или формула Ричардсона. Также существует множество инструментов и программ, которые позволяют анализировать данные и определять тип роста.

Для принятия решений, связанных с экспоненциальным ростом, важно понимать, что увеличение на постоянно увеличивающуюся величину может привести к серьезным последствиям, если не будут приняты соответствующие меры. Поэтому важно не только определить экспоненциальный рост, но и правильно оценить его перспективы и возможные риски для принятия эффективных мер в будущем

Экспоненциальная зависимость тока от напряжения у диодов при прямом смещении

Полупроводниковым диодом называется электропреобразовательный полупроводниковый прибор с одним выпрямляющим электрическим переходом, имеющий 2 вывода. Структура полупроводникового диода с электронно-дырочным переходом и его условное графическое обозначение приведены на рис. 1.2, а, б.

Буквами p и n обозначены слои полупроводника с проводимостями соответственно p-типа и n-типа.

Обычно концентрации основных носителей заряда (дырок в слое p и электронов в слое n ) сильно различаются. Слой полупроводника, имеющий большую концентрацию, называют эмиттером, а имеющий меньшую концентрацию — базой.

Далее рассмотрим основные элементы диода (p-n-переход и невыпрямляющий контакт металл-полупроводник), физические явления, лежащие в основе работы диода, а также важные понятия, использующиеся для описания диода.

Глубокое понимание физических явлений и владение указанными понятиями необходимо не только для того, чтобы правильно выбирать конкретные типы диодов и определять режимы работы соответствующих схем, выполняя традиционные расчеты по той или иной методике.

В связи с быстрым внедрением в практику инженерной работы современных систем схемотехнического моделирования эти явления и понятия приходится постоянно иметь в виду при выполнении математического моделирования.

Системы моделирования быстро совершенствуются, и математические модели элементов электронных схем все более оперативно учитывают самые «тонкие» физические явления. Это делает весьма желательным постоянное углубление знаний в описываемой области и необходимым понимание основных физических явлений, а также использование соответствующих основных понятий.

Приведенное ниже описание основных явлений и понятий, кроме прочего, должно подготовить читателя к систематическому изучению вопросов математического моделирования электронных схем.

Рассматриваемые ниже явления и понятия необходимо знать при изучении не только диода, но и других приборов.

Обзор

Экспоненциальная функция возникает всякий раз, когда величина растет или уменьшается со скоростью , пропорциональной ее текущая стоимость. Одной из таких ситуаций является непрерывно начисленный процент, и фактически именно это наблюдение привело Якоба Бернулли в 1683 году к числу

lim n → ∞ (1 + 1 n) n {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

, теперь известный как e. Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучил исчисление экспоненциальной функции.

Если основная сумма 1 приносит проценты по годовой ставке x, начисленные ежемесячно, тогда проценты, получаемые каждый месяц в x / 12 раз больше текущего значения, поэтому каждый месяц общее значение умножается на (1 + x / 12), а значение в конце года равно (1 + x / 12). Если вместо этого начисляются ежедневные проценты, получается (1 + x / 365). Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, мы получим limit, определяющий экспоненциальную функцию,

exp ⁡ x = lim n → ∞ (1 + xn) n {\ displaystyle \ exp x = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}}

, впервые заданный Леонардом Эйлером. Это одна из нескольких характеристик экспоненциальной функции ; другие включают серии или дифференциальные уравнения.

Из любого из этих определений можно показать, что экспоненциальная функция подчиняется основному тождеству возведения в степень,

exp ⁡ (x + y) знак равно ехр ⁡ Икс ⋅ ехр ⁡ Y {\ Displaystyle \ ехр (x + y) = \ ехр x \ cdot \ exp y}

, что оправдывает обозначение е для exp x.

Производная (скорость изменения) экспоненциальной функции является самой экспоненциальной функцией. В более общем смысле, функция со скоростью изменения, пропорциональной самой функции (а не равной ей), может быть выражена через экспоненциальную функцию. Это свойство функции приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному убыванию.

Экспоненциальная функция распространяется на целую функцию на комплексной плоскости. Формула Эйлера связывает свои значения при чисто мнимых аргументах с тригонометрическими функциями. У экспоненциальной функции также есть аналоги, для которых аргументом является матрица или даже элемент банаховой алгебры или алгебры Ли.

Рост населения планеты

Еще одним ярким примером процессов, которые описываются согласно экспоненциальной зависимости, является рост населения планеты. Так, в 1500 году население планеты составляло около 500 млн., в 1800 году, то есть через 300 лет, оно удвоилось и стало равно 1 млрд., прошло менее 50 лет, и население планеты перешагнуло отметку 2 млрд, в настоящее время количество жителей на планете Земля составляет 7,5 млрд. человек.

Описанный на примере человечества рост популяции характерен для любого биологического вида, будь то млекопитающее или одноклеточная бактерия. Математически этот рост описывается следующей формулой: N_t = N*e k*t , где N_t и N — численность популяции в моменты времени t и нулевой, соответственно, k — некоторый положительный коэффициент. Данная математическая модель роста популяций получила название экспоненциальной зависимости в экологии.

Экспоненциальный рост населения планеты заставил задуматься еще в начале XIX века известного английского экономиста и демографа Томаса Роберта Мальтуса. Ученый в свое время предсказывал, что в середине XIX века на Земле должен будет наступить голод, поскольку производство продуктов питания увеличивается линейно, в то время как численность людей на планете увеличивается экспоненциально. Мальтус полагал, что единственным способом достигнуть равновесия в рассматриваемой системе, является массовая смертность, вызванная войнами, эпидемиями и другими катаклизмами.

Как известно, ученый ошибся в своих мрачных предсказаниях, по крайней мере он ошибся с указанной датой.

Что такое экспоненциальный рост?

Экспоненциальный рост — это модель данных, которая показывает большее увеличение с течением времени, создавая кривую экспоненциальной функции. Например, если популяция мышей удваивается каждый год, начиная с двух в первый год, популяция будет четыре во второй год, 16 в третий год, 256 в четвертый год и так далее. В этом случае население растет до степени 2 каждый год (т. Е. Экспоненциально).

Ключевые моменты:

• Экспоненциальный рост — это модель данных, которая показывает более резкое увеличение с течением времени.
• В финансах начисление сложных процентов дает экспоненциальную прибыль.
• Сберегательные счета с начислением сложных процентов могут показывать экспоненциальный рост.

Понимание экспоненциального роста

В финансах сложная доходность вызывает экспоненциальный рост. Сила начисления процентов — одна из самых мощных сил в финансах. Эта концепция позволяет инвесторам создавать большие суммы с небольшим начальным капиталом . Сберегательные счета со сложной процентной ставкой — типичные примеры экспоненциального роста.

Приложения экспоненциального роста

Предположим, вы вносите 1000 долларов на счет, который приносит гарантированные 10% годовых. Если на счете установлена ​​простая процентная ставка , вы будете зарабатывать 100 долларов в год. Размер выплачиваемых процентов не изменится, пока не будут внесены дополнительные депозиты.

Однако, если на счете установлена ​​сложная процентная ставка, вы будете получать проценты от совокупной суммы счета. Каждый год кредитор будет применять процентную ставку к сумме первоначального депозита вместе с любыми ранее выплаченными процентами. В первый год проценты по-прежнему составляют 10% или 100 долларов. Однако во второй год к новой сумме в 1100 долларов применяется ставка 10%, что дает 110 долларов. С каждым последующим годом сумма выплачиваемых процентов растет, создавая быстро ускоряющийся или экспоненциальный рост. По прошествии 30 лет, без дополнительных депозитов, ваш счет будет стоить 17 449,40 долларов.

Формула экспоненциального роста

На графике эта кривая начинается медленно, какое-то время остается почти ровной, а затем быстро увеличивается и становится почти вертикальной. Он следует формуле:

V = S * (1 + R) ^ Т

Текущее значение V начальной начальной точки, подверженной экспоненциальному росту, может быть определено путем умножения начального значения S на сумму единицы плюс процентная ставка R, возведенная в степень T, или количество истекшие периоды.

Особые соображения

В то время как экспоненциальный рост часто используется в финансовом моделировании, реальность часто оказывается более сложной. Применение экспоненциального роста хорошо работает на примере сберегательного счета, поскольку процентная ставка гарантирована и не меняется со временем. В большинстве случаев это не так. Например, доходность фондового рынка не всегда гладко следует за долгосрочными средними показателями каждый год.

Другие методы прогнозирования долгосрочной доходности, такие как моделирование Монте-Карло, в котором используются распределения вероятностей для определения вероятности различных потенциальных результатов, пользуются все большей популярностью. Модели экспоненциального роста более полезны для прогнозирования доходности инвестиций при стабильных темпах роста.

Приложения

Линейное дифференциальное уравнение

Основное значение экспоненциальных функций в науке проистекает из того факта, что они пропорциональны своей производной. а являясь действительным или комплексным числом, мы имеем:

ddИксλевИксзнак равновλевИкс{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ lambda \ mathrm {e} ^ {ax} = a \ lambda \ mathrm {e} ^ {ax}}

точнее, функция является единственным решением функционального уравнения
φИкс↦λевИкс{\ Displaystyle \ varphi: х \ mapsto \ lambda \ mathrm {e} ^ {ax}}

φ′знак равновφ  а также  φ()знак равноλ{\ displaystyle \ varphi ‘= a \ varphi \ {\ text {and}} \ \ varphi (0) = \ lambda}

Если количество увеличивается или уменьшается в зависимости от времени и скорость «его движения» пропорциональна «его размеру», как в случае роста населения, непрерывного сложного процента или радиоактивного распада, то эта величина может быть выражена как постоянная, умноженная на экспоненциальную функцию времени.

Основная экспоненциальная функция e является решением элементарного дифференциального уравнения:

y′знак равноy{\ displaystyle y ‘= y}

и часто встречается при решениях дифференциальных уравнений. В частности, решения линейного дифференциального уравнения могут быть записаны с использованием экспоненциальных функций. Они также находятся в решениях дифференциальных уравнений Шредингера, Лапласа или в дифференциальном уравнении простого гармонического движения .

Тригонометрическая функция

Показательная функция имеет большое значение в тригонометрии. В формулы Эйлера (который показывает из определения ехр ( г ) = соз г + грешу г ) дает нам прямую связь между косинус и синус функций, реальные или нет, и комплексной экспоненциальной функции.

потому что⁡Иксзнак равноеяИкс+е-яИкс2{\ displaystyle \ cos x = {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x} \ более 2} }

грех⁡Иксзнак равноеяИкс-е-яИкс2я{\ displaystyle \ sin x = {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} — {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x} \ over 2 { \ rm {i}}}}

Эти формулы позволяют найти большинство тригонометрических тождеств , в частности

потому что⁡(в+б)знак равнопотому что⁡(в)потому что⁡(б)-грех⁡(в)грех⁡(б) {\ Displaystyle \ соз (а + Ь) = \ соз (а) \ соз (Ь) — \ грех (а) \ грех (Ь) ~}

грех⁡(в+б)знак равногрех⁡(в)потому что⁡(б)+грех⁡(б)потому что⁡(в) {\ displaystyle \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a) ~}

из которых мы можем найти почти все остальные.

Экспоненциальная функция также является простым способом линеаризации выражений вида cos p x sin q x  : см. .

Экспоненциальная функция также находит свое применение, когда мы хотим доказать формулу Муавра .

Экспоненциальная функция и гиперболическая тригонометрия

С помощью экспоненциальной функции мы можем определить функции гиперболической тригонометрии, определяя гиперболические функции гиперболический косинус , cosh и гиперболический синус , sinh , которые частично используются при разрешении дифференциальных уравнений второго порядка.

шуш⁡Иксзнак равноеИкс+е-Икс2{\ displaystyle \ operatorname {cosh} x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {x} + {\ rm {e}} ^ {- x}} {2}}}

грех⁡Иксзнак равноеИкс-е-Икс2{\ displaystyle \ operatorname {sinh} x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {x} — {\ rm {e}} ^ {- x}} {2}}}

Теория Фурье

В теории Фурье используются экспоненциальные функции, где t — действительное число, а k — относительное целое число. Они позволяют выразить любую периодическую функцию в виде суммы тригонометрических функций, они представляют собой ряды Фурье . Они также позволяют определить преобразование Фурье суммируемой квадратной функции.
т↦еяkт{\ Displaystyle т \ mapsto {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} kt}}

Сигмовидная функция

Сигмоидальная функция для любого вещественного числа особенно полезна в нейронных сетях для вычисления градиента ошибки.
ж(Икс)знак равно11+е-Икс{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}}}Икс{\ displaystyle x}

Экспоненциальное приближение

Во многих физических процессах физическая величина балансирует между двумя взаимосвязанными телами / системами.

Экспоненциальная аппроксимация значения 1

Примеры:

• Температура куска металла адаптируется к температуре окружающей среды.
• Температуры двух по-разному горячих, соединенных теплопроводностью металлических блоков равны друг другу.
• Напряжение заряжаемого конденсатора приближается к зарядному напряжению.
• Сила тока при включении катушки приближается к силе тока, определяемой законом Ома .
• Уровни воды в двух резервуарах для воды с разным наполнением, соединенных тонким шлангом, равны между собой.
• Распространение : концентрации растворенного вещества в двух взаимосвязанных камерах уравновешивают друг друга.
• Скорость падения тела в жидкости конечной вязкости приближается к своей конечной скорости ( ).

Общим для многих из этих примеров является то, что интенсивное количество и экстенсивное количество связаны друг с другом:

• Температура и количество тепла ( тепловая энергия )
• электрическое напряжение и электрический заряд на конденсаторе
• Давление воды и объем (или количество вещества ) в цилиндрических емкостях
• Концентрация и количество вещества.

Две переменные пропорциональны друг другу, и разница в первой переменной заставляет поток (или ток) второй переменной течь между двумя системами. Это, в свою очередь, вызывает изменение первой переменной в системах:

• Разница температур вызывает поток тепла и, следовательно, изменения температуры в обоих телах.
• Разница напряжений на конденсаторе вызывает электрический ток и, следовательно, изменение напряжения.
• Градиент концентрации вызывает массоперенос и, следовательно, изменение концентрации.
• Разница уровней наполнения (и, следовательно, разница давлений) вызывает поток вещества и, следовательно, изменение уровня наполнения.

Изменение во времени интенсивного размера пропорционально силе соответствующего потока, и это пропорционально разнице в размере. В таком случае дифференциальное уравнение
применяется к величинеА.{\ displaystyle A}

-τdА.dтзнак равноА.2-А.1{\ displaystyle — \ tau {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = A_ {2} -A_ {1}}

Это базовое положение вещей одинаково для явлений, описанных выше, поэтому знания и законы могут легко передаваться между ними. В законах диффузии, например, применяются также к теплопроводности и электрическому заряду. (Однако электрические явления обычно происходят очень быстро. В жидкостях / газах без сильного трения / демпфирования инерция движущейся массы создает дополнительные эффекты, обычно в виде вибраций и звуковых волн .)

Если одно из двух значений является постоянным (наружная температура, зарядное напряжение), рассматриваемый размер будет приблизительно соответствовать этому значению. Если оба значения переменные, они будут приближаться друг к другу. В обоих случаях значения приближаются к окончательному значению , которое обычно легко вычислить.
А.конец{\ displaystyle A _ {\ text {end}}}

Можно записать в виде дифференциального уравнения

-τdА.dтзнак равноА.-А.конец{\ displaystyle — \ tau {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = A-A _ {\ text {end}}}

с решением

А.(т)знак равноА.конец+(А.Начало-А.конец)е-тτ{\ displaystyle A (t) = A _ {\ text {end}} + \ left (A _ {\ text {start}} — A _ {\ text {end}} \ right) \ mathrm {e} ^ { — {\ frac {t} {\ tau}}}}

Это ценность начала (в то время ).
А.Начало{\ displaystyle A _ {\ text {начало}}}А.{\ displaystyle A}тзнак равно{\ displaystyle t = 0}

Как приближение к значению 0, экспоненциальное убывание является частным случаем экспоненциального приближения с .
А.конецзнак равно{\ displaystyle A _ {\ text {end}} = 0}

Конечное значение A _end никогда не достигается, а только приближается. На практике все меньшее и меньшее отклонение от окончательного значения в конечном итоге становится меньше погрешности измерения. После пятикратного увеличения постоянной времени ( ) исходная разница уже упала ниже 1%, после семи раз ( ) — ниже 1 ‰.
тзнак равно5τ{\ Displaystyle т = 5 \ тау}тзнак равно7-еτ{\ Displaystyle т = 7 \ тау}

Постоянная времени может быть определена в конкретном случае и зависит от таких переменных, как общие сопротивления и емкости. Например, при зарядке или разряде конденсатора емкостью через резистор со значением :
τ{\ Displaystyle \ тау} С.{\ displaystyle C}Р.{\ displaystyle R}

τзнак равноР.⋅С.{\ Displaystyle \ тау = R \ cdot C}.