Содержание
Слайд 1
pptcloud.ru
Слайд 2
Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.
Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы.
Слайд 3
Введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н. э.
Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.
Слайд 4
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Слайд 8
x=1
Слайд 9
Кроме х=1, есть еще два корня
Слайд 10
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений
Слайд 11
не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида
Слайд 12
нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что
Слайд 13
Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять.
Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
Слайд 14
Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт.
В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.
Слайд 15
Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
Слайд 16
Слайд 17
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.
Слайд 18
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины.
Слайд 19
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”
Слайд 20
Слайд 21
Слайд 22
Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.
Слайд 23
5. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами
a = r cos q , r=a/cos q
b = r sin q , r=b/sin q
r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс
Слайд 24
Комплексные числа, несмотря на их“лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии
Слайд 25
Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде
r(cos q + i sin q),
где r > 0 т.е
z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Слайд 26
Спасибо за внимание!
Посмотреть все слайды
Как получить комплексные соли
Для получения комплексных солей необходимо применить растворы щелочей к амфотерным гидроксидам. Один из примеров — это образование тетрагидроксоцинката калия при взаимодействии гидроксида калия с гидроксидом цинка: 2 KOH + Zn OH 2 → K 2 Zn OH 4. В реакции катион калия связывается с анионом тетрагидроксоцинката. Комплексная соль является соединением с катионом металла и комплексом, содержащим центральный атом металла, а также несколько атомов лигандов, которые могут быть заменены другими анионами. Комплексные соли имеют широкое применение, включая использование в качестве катализаторов, пигментов, лекарств и многих других областей
Получение комплексных солей является важной задачей в химии, и его применение находится на стыке различных областей знаний
Как определяют отклонения формы и расположения поверхностей
Отклонение формы и расположения элемента оценивается на всей длине детали или на нормируемом участке — участке поверхности или линии, к которому относится допуск отклонения. Нормирование участка необходимо для того, чтобы учесть особенности конструкции и использования детали, а также разные требования к точности. Для измерения отклонений используются различные методы и инструменты, такие как замеры с помощью измерительных приборов, оптические контрольные приборы, компьютерное моделирование и др. Определение отклонений формы и расположения поверхностей является важным этапом в производстве и контроле качества изделий, так как от этого зависит точность и надежность их функционирования.
История[]
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.
Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил
Р. Бомбелли (1572).
Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.
Выражения вида a+b−1{\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI-XVII вв. «мнимыми».
Однако даже для многих крупных учёных XVII в. алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной.
Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».
Зодача о выражении корней степени n{\displaystyle n} из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра
(A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722).
Символ i=−1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}} предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius.
Он же высказал в 1751 мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, к такому же выводу
пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит
Гауссу (1799). Он же ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831.
Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799).
Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей независимо выводы К. Весселя.
Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена У. Р. Гамильтоном (1837).
Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.
1.1 Развитие понятия о числе
Древнегреческие
математики считали “настоящими”
только натуральные числа. Постепенно
складывалось представление о бесконечности
множества натуральных чисел.
В
III веке Архимед разработал систему обозначения
вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли
дробные числа, составленные из целого
числа долей единицы. В практических расчетах
дроби применялись за две тысячи лет до
н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне.
Долгое время полагали, что результат
измерения всегда выражается или в виде
натурального числа, или в виде отношения
таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий
философ и математик Пифагор учил, что
“… элементы чисел являются элементами
всех вещей, и весь мир в целом является
гармонией и числом. Сильнейший удар по
этому взгляду был нанесен открытием,
сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал,
что диагональ квадрата несоизмерима
со стороной. Отсюда следует, что натуральных
чисел и дробей недостаточно, для того
чтобы выразить длину диагонали квадрата
со стороной 1. Есть основание утверждать,
что именно с этого открытия начинается
эра теоретической математики: открыть
существование несоизмеримых величин
с помощью опыта, не прибегая к абстрактному
рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в
развитии понятия о числе было
введение отрицательных чисел — это было
сделано китайскими математиками за два
века до н. э. Отрицательные числа применяли
в III веке древнегреческий математик Диофант,
знавший уже правила действия над ними,
а в VII веке эти числа уже подробно изучили
индийские ученые, которые сравнивали
такие числа с долгом. С помощью отрицательных
чисел можно было единым образом описывать
изменения величин. Уже в VIII веке было
установлено, что квадратный корень из
положительного числа имеет два значения
— положительное и отрицательное, а из
отрицательных чисел квадратный корень
извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .
Для чего нужен витамин В комплекс
Витамины группы B являются важными для поддержания здорового образа жизни. Они помогают в синтезе энергии и работе центральной нервной системы и головного мозга. Витамины В также играют важную роль в функционировании кровеносной и сердечно-сосудистой систем, участвуя в образовании красных кровяных клеток и регулируя уровень гомоцистеина в крови. Недостаток витаминов группы В может привести к различным заболеваниям, таким как болезни нервной системы, проблемы со зрением, атрофии мышц, анемии и многим другим
Поэтому важно включать в свой рацион продукты, богатые витаминами этой группы, или принимать специализированные комплексы витаминов, рекомендованные врачом
История развития комплексных чисел
Идея комплексных чисел возникла в XVI веке и была развита математиками в XVII веке. Комплексные числа представляют собой числа, которые включают в себя как действительную, так и мнимую части. История их развития охватывает важные этапы и вклады в различных математиков.
В древности мнимые числа рассматривались отдельно от действительных чисел. Однако первое формальное представление комплексных чисел появилось только в XVI веке в работе итальянского математика Раффаэлло Фибоначчи. Он рассматривал уравнения такого вида: x^3 + 2x^2 + 10x + 20 = 0, которые не имели действительных корней. Фибоначчи обозначил мнимые числа символом «i».
Все большее внимание к комплексным числам начала проявляться в XVII веке. Главными вкладчиками были Жерар Кардано, Рени Декарт и Леонард Эйлер
Так, Кардано в 1545 году предложил формулу для нахождения корней кубического уравнения, которые могут быть комплексными.
Далее, Рени Декарт ввел понятие мнимой единицы «i», обозначив ее как «j» и показал, что комплексные числа можно представить в виде упорядоченной пары действительной и мнимой частей. Декарт также внес важный вклад в геометрическую интерпретацию комплексных чисел, представив их на плоскости.
Дальнейший вклад в развитие комплексных чисел был сделан Леонардом Эйлером, который ввел обозначение «i» для мнимой единицы. Он также предложил эйлерову формулу, которая связывает экспоненту, мнимую единицу и синус и косинус.
История развития комплексных чисел является важной частью математического развития и охватывает широкий диапазон вкладов различных математиков на протяжении веков
Список литературы
- «Энциклопедия для детей — математика» 1998 г.
- «Энциклопедический словарь молодого математика» 1997 г.
Посмотрите похожие темы рефератов возможно они вам могут быть полезны:
- Реферат на тему: Электричество в жизни человека
- Реферат на тему: Физическое развитие
- Реферат на тему: Этика как наука
- Реферат на тему: Алалия
- Реферат на тему: Подвижные игры для дошкольников
- Реферат на тему: Экономические циклы
- Реферат на тему: Федеративное устройство РФ
- Реферат на тему: Безопасный интернет
- Реферат на тему: Этносоциальные конфликты в современном мире
- Реферат на тему: Электронные денежные системы
Математические применения
Комплексные числа нашли свое применение в различных областях математики.
- Алгебра и анализ: Комплексные числа используются для решения уравнений, особенно квадратных и кубических. Они позволяют получать аналитические решения для уравнений, которые иначе было бы сложно или невозможно решить.
- Тригонометрия: Комплексные числа связаны с тригонометрическими функциями и используются для решения задач, связанных с тригонометрией, таких как вычисление суммы и произведения тригонометрических функций.
- Векторная алгебра: Комплексные числа могут быть использованы для представления векторов в двумерном пространстве. Операции с векторами, такие как сложение и умножение на число, могут быть выполнены с использованием комплексных чисел.
- Электротехника: Комплексные числа широко используются в электротехнике для описания и анализа электрических цепей и сигналов. Они позволяют учесть фазовые сдвиги и импеданс, что делает возможным более точное моделирование и проектирование систем.
- Механика и физика: Комплексные числа используются для моделирования колебаний и волновых процессов, таких как звук и свет. Они позволяют рассматривать физические величины, такие как амплитуда, фаза и частота, как комплексные числа.
Это лишь некоторые из областей, в которых комплексные числа применяются
Их важность и роль в математике трудно переоценить, так как они дают новые возможности и инструменты для решения различных математических и физических задач
Характеристика онлайн-платформы GeoGebra
Как вы считаете, какими качествами должен обладать учебный материал, чтобы его было удобно использовать при изучении темы?
В соответствии с требованиями был выбран сетевой сервис GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Ниже представлена характеристика сайта.
- Удобный, понятный интерфейс. Интерфейс сайта схож с интерфейсами популярных соцсетей, поэтому управление будет интуитивно понятно большинству пользователей.
- Интерактивность и наглядность. Сервис позволяет вставлять в текст интерактивные рисунки (графики, схемы, построения). Пользователь получает возможность самостоятельно изменять иллюстрацию, созданную автором. Такой способ подачи материала является более наглядным, чем статичные схемы.
- Наличие мобильной версии сайта.
- Широкий функционал. На сайте доступно как создание больших документов, содержащих текст, различные чертежи и т.д., так и небольших узконаправленных записей.
- Возможность логично и последовательно представить информацию. Сайт позволяет структурировать крупные документы. Для навигации по документу доступно оглавление.
Часть интерфейса недоступна на русском языке.
1.3 Утверждение комплексных чисел в математике
Кардано
называл такие величины “чисто
отрицательными” и даже “софистически
отрицательными”, считал их бесполезными
и старался их не употреблять. В самом
деле, с помощью таких чисел нельзя выразить
ни результат измерения какой-нибудь величины,
ни изменение какой-нибудь величины. Но
уже в 1572 году вышла книга итальянского
алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были
установлены первые правила арифметических
операций над такими числами, вплоть до
извлечения из них кубических корней.
Название “мнимые
числа” ввел в 1637 году французский математик
и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из
крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер
предложил использовать первую букву
французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел
во всеобщее употребление благодаря К.
Гауссу . Термин “комплексные
числа” так же был введен Гауссом
в 1831 году. Слово комплекс (от латинского
complexus) означает связь, сочетание, совокупность
понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих
единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение
арифметической природы мнимых чисел,
возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника
операций над мнимыми числами.
На рубеже XVII и XVIII веков была построена
общая теория корней n-ых степеней сначала
из отрицательных, а за тем из любых комплексных
чисел, основанная на следующей формуле
английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было
так же вывести формулы для косинусов
и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в
1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную
функцию с тригонометрической. С помощью
формулы Л. Эйлера можно было возводить
число e в любую комплексную степень. Любопытно,
например, что . Можно находить sin и cos от комплексных
чисел, вычислять логарифмы таких чисел,
то есть строить теорию функций комплексного
переменного.
В конце XVIII века французский математик
Ж. Лагранж смог сказать, что математический
анализ уже не затрудняют мнимые величины.
С помощью мнимых чисел научились выражать
решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Такие уравнения
встречаются, например, в теории колебаний
материальной точки в сопротивляющейся
среде. Еще раньше швейцарский математик
Я. Бернулли применял комплексные числа
для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью
комплексных чисел были решены многие
вопросы, в том числе и прикладные задачи,
связанные с картографией, гидродинамикой
и т. д., однако еще не было строго логического
обоснования теории этих чисел. По этому
французский ученый П. Лаплас считал, что
результаты, полученные с помощью мнимых
чисел, — только наведение, приобретающее
характер настоящих истин лишь после подтверждения
прямыми доказательствами.
“Никто ведь не сомневается
в точности результатов, получаемых
при вычислениях с мнимыми количествами,
хотя они представляют собой только алгебраические
формы иероглифы нелепых количеств” Л.
Карно.
После создания теории комплексных
чисел возник вопрос о существовании
“гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими
“мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик
У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”.
Правила действия над кватернионами напоминает
правила обычной алгебры, однако их умножение
не обладает свойством коммутативности
(переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются
темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю
об их существовании.
Большой вклад в развитие теории
функций комплексного переменного внесли
русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили
занимался ее применениями к упругости,
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро-
и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С.
Владимиров — к проблемам квантовой теории
поля.
2 Комплексные
числа и их свойства
2.1 Понятие комплексного числа
Решение
многих задач математики, физики
сводится к решению алгебраических
уравнений. Поэтому исследование алгебраических
уравнений является одним из важнейших
вопросов в математике. Стремление сделать
уравнения разрешимыми – одна из главных
причин расширения понятия числа.
Так
для решимости уравнений вида
X²+A=B
положительных чисел недостаточно. Например,
уравнение X²+5=2 не имеет положительных
корней. Поэтому приходится вводить отрицательные
числа и нуль.
На
множестве рациональных чисел разрешимы
алгебраические уравнения первой степени,
т.е. уравнения вида A·X+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения
степени выше первой могут не иметь рациональных
корней. Например, такими являются уравнения
X2=2, X3=5. Необходимость решения
таких уравнений явилось одной из причин
введения иррациональных чисел. Рациональные
и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел.
Однако
и действительных чисел недостаточно
для того, чтобы решить любое алгебраическое
уравнение. Например, квадратное уравнение
с действительными коэффициентами и отрицательным
дискриминантом не имеет действительных
корней. Простейшее из них – уравнение
X2+1=0. Поэтому приходится расширять
множество действительных чисел, добавляя
к нему новые числа. Эти новые числа вместе
с действительными числами образуют множество,
которое называют множеством комплексных
чисел.
Разработка онлайн-курса «Магия комплексных чисел»
В ходе работы над проектом был проведен опрос среди студентов нижегородского педагогического университета имени Минина и учеников профильных 10 и 11 классов школы №186 г. Н. Новгорода. Результаты опроса показали, что большинство участников поддерживают идею создания обучающего курса. Также в опрос был включен вариант с созданием продукта проекта на сайте geogebra.org, который выбрали 28% участников.
В итоге было принято решение о создании обучающего курса «Магия комплексных чисел». В таблице приведена сравнительная характеристика онлайн-платформ, где возможно размещение продукта.
| wizer. me | geogebra. org | wordwall.net | quizizz. com | |
| Возможность добавлять свои материалы | + | + | + | + |
| Обязательная регистрация | + | — | + | — |
| Бесплатность | — | + | — | + |
| Возможность размещать как теоретический материал, так и задания | + | + | — | — |
| Наглядность представления информации | + | + | Возможно представление только в виде тестовых заданий | Возможно представление только в виде тестовых заданий |
| Структурированность представления информации | Возможно создание краткого конспекта | + | Возможно представление только в виде тестовых заданий | Возможно представление только в виде тестовых заданий |
История возникновения комплексных чисел
Как и многие важные математические открытия, комплексные числа были открыты в нужный момент времени для решения конкретной задачи, которая не могла быть решена с помощью традиционных методов. В данном случае речь идёт о решении кубических уравнений, которые, при наличии действительных корней, не могли быть разрешены формулами, альтернативными методам Виета и Кардано. В результате разработки формулы Кардано возникли выражения, содержащие иррациональные числа, в том числе и корень из -1. Таким образом, возникла необходимость во введении нового числового концепта комплексных чисел.
Структура онлайн-курса
| Раздел | Наполнение | Взаимодействие с пользователем |
| Определение комплексного числа | Определение | График: вектор, обозначающий комплексное число, значение модуля этого числа |
| Изображение на плоскости | ||
| Модуль числа, модуль суммы и сумма модулей | ||
| Формы записи комплексного числа | Алгебраическая форма записи | График: вектор, обозначающий комплексное число, значение аргумента этого числа, связь аргумента с координатами |
| Аргумент комплексного числа | ||
| Тригонометрическая форма записи, ее применение | ||
| Показательная форма записи, ее применение | ||
| Арифметические действия | Сложение, вычитание | График суммы и разности двух комплексных чисел |
| Умножение | График произведения комплексных чисел | |
| Деление | График частного двух комплексных чисел | |
| Возведение в степень, извлечение корня | Визуализация возведения комплексного числа в целочисленную степень |
Заключение
Изучив эту тему и проанализировав весь материал, который мы смогли найти, мы пришли к выводу, что сложные уравнения не только незаменимы, но также должны рассматриваться в широком диапазоне их практических приложений.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными вычислениями. Выбор этих формул, очевидно, продиктован условиями задачи и ее требованиями. В этом необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, которые иногда требуют от решающего немалой изобретательности и долгих поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.