Теории вероятностей: готовимся к собеседованию и разрешаем «парадоксы»

Виды событий

В теории вероятностей события бывают невозможными, случайными и достоверными.

Невозможное событие

Это то, которое уже известно, что в ходе испытания НЕ произойдёт, т. е. вероятность данного события равна нулю. Например: при бросании одной игральной кости (один раз), какова вероятность того, что выпадет 7 очков?

Случайное событие

Это событие может произойти или нет, обычно оно именно случайное. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?

Достоверное событие

Это то, которое в ходе испытания обязательно произойдёт, т. е. вероятность данного события равна 1. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что она не останется в воздухе, а упадёт?

Основные теоремы теории вероятностей: сложение, умножение, формула полной вероятности

Операция сложения вероятностей будет означать связку «или», операция умножения вероятностей будет означать связку «и».

Сложение вероятностей

Сумма двух событий A и B будут называть событие A+B. Оно состоит в том, что может наступить или событие B, или событие A, или же оба события в одно и то же время. Если же события являются несовместимыми, последний вариант невозможен, таким образом возможно наступление или события B, или события A.  

Умножение вероятностей

Произведение двух вероятностей A и B — событие AB, оно состоит в том, что события проявляются совместно. Другими словами, умножение AB будет следующим: в результате некоторых условий может наступить и событие A, и событие B. Это утверждение является справедливым для большого числа событий. Так, например, произведение  предусматривают, что в конкретных условиях может произойти и событие , и событие и событие  , и событие .

Так получается, что событие  будет состоять в том, что на монетах (и на первой, и на второй) выпадает орел.

Событие — на монетах выпадает решка (и на первой, и на второй).

Событие  — на первой монете будет орел, а на второй монете будет решка.

Событие — на первой монете будет решка, а на второй монете будет орел.

Полная группа событий

Зависимое событие A способно произойти только в итоге реализации одной из несовместимых гипотез  до бесконечности, они образуют полную группу событий. Пусть будут известны вероятности событий , а также соответствующие условные вероятности .

Приведенная выше формула является формулой полной вероятности.

В учебниках алгебры она формулируется при помощи теоремы, которую можно доказать очень просто: по алгебре событий  (случилось событие  и после него случилось событие A или случилось событие  и после него случилось событие A и так до бесконечности).

Из-за того, что гипотезы  и до бесконечности являются несовместимыми, а событие A является зависимым, то по теореме сложения вероятностей несовместимых событий и теореме умножения вероятностей зависимых событий: 

Независимые события в теории вероятностей

Если вероятность появления одного события не зависит от появления другого события, и наоборот, то такие события называются независимыми.

Если события независимые, то их вероятности перемножаются. В результате этого мы получаем вероятность возникновения этих событий одновременно.

Давайте рассмотрим задачи с независимыми событиями.

Задача 8

Стрелок стреляет  6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд?  Результат округлите до сотых.

Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность каждого из них – 0,8. Чтобы найти вероятность возникновения этих независимых событий одновременно необходимо перемножить вероятности этих событий. Таким образом:

Р = 0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 = 0,262144

Округляем результат до сотых и получаем 0,26.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд, равна 0,26.

Ответ: 0,26

Рассмотрим еще одну задачу, чуть сложнее.

Задача 9

Стрелок стреляет  6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок первые 2 раза промахнется, а остальные 4 раза попадет в цель? Результат округлите до сотых.

Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность того, что стрелок попадет или не попадет в мишень, равна 1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,8. Тогда вероятность того, что не попадет в мишень, равна 1 — 0,8 = 0,2. Нам нужно найти вероятность, когда стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет. Перемножаем соответствующие вероятности:

Р = 0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,016384

Округляем 0,016384 до сотых и получаем 0,02.

Итак, вероятность того, что стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет, равна 0,02.

Ответ: 0,26

Проверь себя

Задание 1. Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Как решать задачи с перечислением

Этот тип задач отличается от предыдущих лишь тем, что в задаче предметы поименованы. А вычисления выполняются по той же формуле:

Приведем пример такой задачи.

Задача 4

В портфеле у Васи лежали учебники по алгебре, геометрии, химии, биологии и литературе. Вася не глядя вынимает один учебник, какова вероятность того, что он вытянул алгебру?

Решение. Не смотря на то, что теперь предметы поименованы, принцип решения задачи остался прежним. Общее количество вариантов (т.е. учебников в портфеле) – 5.  Нужный нам вариант (т.е. учебник по алгебре) – 1. Следовательно, вероятность нужного нам события равна:

Р =  = 0,2

Ответ: 0,2

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A \(\cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A \cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A \cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

• Вся биология за 7 класс в одном видео кратко

    

• Пищевой режим почвы кратко

    

• Языковая ситуация во франции кратко

    

• Инфляционная спираль это в экономике кратко и понятно

    

• Заболевания среднего уха кратко

Условная вероятность

Иногда можно перемножать вероятности событий, не являющихся в полном смысле слова независимыми. Пусть для того, чтобы произошло событие А, необходимо, чтобы последовательно произошли В и С. В зависимости от того, произошло ли В, вероятность С может отличаться. Например, в урне лежат 4 шарика – 2 красных и 2 желтых. Предположим, что произошло событие В – был вытащен красный шар. Его вероятность равна 0,5. Чему тогда равна вероятность события С – вытаскивания желтого шарика? В урне осталось 3 шара, из них 2 желтых, поэтому Р(С) = 2/3.

С другой стороны, пусть В не произошло, то есть первым был вынут желтый шар. Чему тогда равна вероятность С? В урне снова 3 шарика, но лишь 1 из них желтый. Следовательно, Р(С) = 1/3. Получается, что в зависимости от того, случилось ли В, вероятность Р(С) принимает разные значения. В математике такую вероятность называют условной.

Обозначается она так:

Р(С|B).

Первая буква в скобках соответствует событию, для которого указываем вероятность, а вторая буква – событию, которое является условием для С.

Если событие А произойдет тогда, когда свершится сначала В, а потом С, то вероятность А также можно найти с помощью умножения

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

Пример. В урне находится 52 шара, из них на 4 написана буква Т. Из урны последовательно вынимаются два шара. Какова вероятность, что на обоих вытащенных шарах будет буква Т?

Решение. Так как в урне 52 шара, и лишь на 4 есть буква Т, то шанс на то, что первым вытащат именно шар с буквой Т, равен 4/52 = 1/13. Если это событие произошло, то в урне остался 51 шар, и лишь на трех будет находиться нужный символ. Тогда вероятность появления шара с буквой Т составит 3/51 = 1/17. Общая же вероятность появления 2 таких шаров подряд найдется как произведение этих вероятностей:

Р = (1/13)•(1/17) = 1/221 ≈ 0,004525

Эту вероятность можно рассчитать и иначе, по аналогии с задачей про бракованные велосипеды, которая приведена выше. Подсчитаем, сколькими способами можно выбрать 2 шара из 52:

Но всего 6 способами можно выбрать 2 шара из 4:

Поделив число благоприятных исходов на их общее количество, получим искомую вероятность:

Р = 6/1326 = 1/221.

Ответ: 1/221

Пример. Известно, что вероятность мужчины дожить до 90 лет составляет 5,126%, а до 95 лет – 1,326%. С какой вероятностью мужчина, которому уже сейчас 90 лет, доживет до 95 лет?

Решение. Пусть А – это дожитие до 95 лет, С – дожитие 90-летнего мужчины до 95 лет, В – дожитие до 90 лет. Чтобы отпраздновать 95-летие, человек сначала должен отметить 90-летний юбилей, а потом ещё прожить 5 лет. Другими словами, чтобы случилось А, сначала должно случиться В, а потом событие С при условии В. То есть можно записать

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

По условию Р(А) = 0,01326, а Р(В) = 0,05126. Зная это, легко найдем Р(С|B):

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

0,01326 = 0,05126•Р(С|B)

Р(С|B) = 0,01326/0,05126 ≈ 0,2587

Это и есть вероятность мужчины, отметившего 90-ый день рождения, дожить до 95 лет.

Ответ: 0,2587

Вероятность и геометрия

Теория вероятности затрагивает и геометрию. Пусть есть отрезок АВ, в середине которого располагается точка С.

Теперь мы ставим на отрезке АВ случайную точку D. С какой вероятностью она попадет наАС, а с какой на ВС? Так как эти отрезки ничем не отличаются, то можно предположить, что события «попадание точки на АС» и «попадание точки на ВС» являются равновероятными событиями. Так и есть. Их вероятность обоих событий составляет 0,5.

Теперь предположим, что точка С выбрана так, что отрезок АС вдвое короче, чем ВС, то есть ВС = 2 АС:

Чему в этом случае равны вероятности попадания случайной точки D на отрезки АС и ВС? Для ответа на этот вопрос раздели ВС надвое с помощью ещё одной точки K:

Получили три одинаковых отрезка АС, СК и КВ. Раз они одинаковы, то и вероятности случайной точки оказаться на каждом из этих отрезков равны:

Р(АС) = Р(СК) = Р(КВ) = 1/3

Отсюда вероятность попадания точки на ВС равна 2/3:

Р(ВС) = Р(СК) + Р(КВ) = 1/3 + 1/3 =2/3

Получили, что вероятность попадания точки на ВС вдвое выше, чем на АС. И при этом ВС вдвое длиннее. И это не случайно. В общем случае верно следующее правило:

Данное свойство может пригодиться не только в геометрии, но и при решении задач.

Пример. Прохожий пришел на остановку автобуса в случайный момент времени. Он знает, что автобус ходит с интервалом в 40 минут, но не знает, когда отъехал предыдущий автобус. С какой вероятностью автобус придется ждать менее 10 минут?

Решение. Построим схему. На ней время будем откладывать по горизонтальной оси. Отметим точки, соответствующие приезду автобуса (А₁, А₂, А₃, А₄), и точку, соответствующую приходу прохожего (D):

Ясно, что точка D окажется между какими-то двумя точками, которым соответствуют последовательные прибытия поезда.На рисунке это А₂ и А₃. В каком случае время ожидания составить менее 10 минут? В том случае, если точка D окажется на «расстоянии» менее 10 минут от точки А₃, то есть попадет в отрезок ВА₃:

Отрезок ВА₃ вчетверо короче отрезка А₂А₃, поэтому вероятность точку D попасть на него составляет 1/4. Именно такова вероятность, что прохожему придется ждать автобус менее 10 минут.

Ответ: 1/4

В случае, когда точка случайным образом ставится не на отрезке, а на плоской фигуре, то справедливо следующее правило:

Пример. В треугольнике АВС проведена средняя линия NM. С какой вероятностью случайная точка, отмеченная на треугольнике АВС, попадет и на треугольник ANM?

Решение. Средняя линия NM параллельна стороне ВС (это свойство средней линии), а потому равны углы АNM и АВС (соответственные углы при параллельных прямых). Это значит, что треугольники АВС и ANM подобны по двум равным углам. Коэффициент подобия равен 1/2, так как AN/АВ = 1/2. Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия, поэтому площадь АMN в 4 раза меньше площади АВМ. По условию точка гарантированно попадает в АВС, то есть вероятность этого события равна 1. Тогда вероятность попадания точки в АNM будет в 4 раза меньше и составит 1/4 .

Ответ:1/4.

Классическое определение вероятности

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми, если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события $A_{1}, A_{2}, …, A_{n}$ конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий $A_{1}, A_{2}, …, A_{n}$ – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

1. При подбрасывании монеты полную группу создают два случайных события: появление «герба» (событие $A$) и появление «числа» (событие $B$).
2. При подбрасывании двух монет полная группа состоит из четырёх событий: $A, B, C, D$:

Первая монета           Вторая монета           События

1) «герб»                    «герб»                         $A$

2) «герб»                    «число»                      $B$

3) «число»                  «герб»                         $C$

4) «число»                  «число»                      $D$

Или сокращённо $A$ – «ГГ», $B$ – «ГЧ», $C$ – «ЧГ», $D$ – «ЧЧ».

События $A_{1}, A_{2}, …, A_{n}$ называются равновозможными, если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие $A$ появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через $m$, которые влияют на событие $A$ при $n$ всех возможных случаях, а через $P(A)$ – вероятность случайного события $A$, тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Определение

Вероятность события $A$ называют отношения числа $m$ благоприятных этому событию случаев, к общему числу всех возможных случаев, то есть:

${P(A)} = {m\over{n}}$.

(1)

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Основные понятия

Мы упомянули слова «событие» и «вероятность», но не рассказали, что они вообще значат в контексте теории вероятностей. Давайте разбираться.

События

Событие — это всё, что может произойти, когда мы совершаем какое-то действие. Например, если мы бросаем монетку, то событие — это выпадение орла или решки. Чтобы обозначать события, используют заглавные буквы латинского алфавита. Например, для орла можем выбрать букву A, а для решки — B.

Существует много разных видов и классификаций событий, но в этой статье мы остановимся на основных четёрых:

• Достоверные — те, которые точно произойдут. Если бросить стакан на пол, то с вероятностью 100% он полетит вниз.
• Невозможные — те, которые никогда не произойдут. Если бросить тот же стакан на пол, то он никогда не полетит вверх (мораль: не стоит бросать стаканы на пол, если, конечно, вы не на МКС).
• Случайные — те, которые могут произойти, а могут и не произойти. Например, если мы бросаем игральный кубик, то не можем с уверенностью сказать, что выпадет число 2.
• Несовместимые — те, которые исключают друг-друга. Например, при подбрасывании монетки может выпасть либо орёл, либо решка — оба одновременно они выпасть не могут.

Стать экспертом по теории вероятностей очень просто — нужно всего лишь завести кошку и наблюдать за нейИнфографика: Оля Ежак для Skillbox Media

Если собрать все несовместимые события вместе, они будут называться полной группой событий. Это множество событий, одно из которых обязательно случится, если мы совершаем действие, а другие — не произойдут никогда. Например, когда мы бросаем игральный кубик, может выпасть только одна из сторон.

Вероятности

Вероятность — это число, которое обозначает шанс возникновения события. Например, вероятность выигрыша в лотерею может составлять 1 к 1 000 000.

Мы записывали значения вероятностей в процентах и отношениях, но математикам удобнее располагать их в диапазоне от 0 до 1. Если вероятность равна 0, то событие никогда не произойдёт, а если 1 — точно произойдёт. Всё, что посередине, — это случайные события.

Самый простой способ вычислить вероятность — поделить число благоприятных событий на общее число возможных событий. Например, если всего в колоде 36 карт, а мы хотим достать короля пик, то вероятность этого события равна 1/36, или 0,03. Если бы нас устроил любой из королей, то вероятность была бы равна 4/36 — то есть 0,1.

Начальная вероятность того, что вы наткнётесь на мину в самом начале игры в «Сапёра», — около 20%. С каждой открытой клеткой этот шанс увеличивается. Но это если полагаться только на удачу.

К формулам мы ещё вернёмся, а пока отметим, что вероятность — это не всегда точное предсказание, а лишь оценка шанса возникновения события. Как следует из закона больших чисел, если шанс выпадения орла и решки равен 50%, это не означает, что они будут выпадать по очереди.

Ещё вероятность может быть условной — или зависеть от другого события. Например, если мы хотим вытащить любой туз из колоды карт, шанс равен 4/36. Но если до этого кто-то уже вытащил одного туза, то вероятность будет равна 3/35. Это потому, что в колоде стало на одну карту меньше и количество благоприятных событий тоже уменьшилось.

Разбор задач на вероятность

Пример 1Вася и Петя играют две партии в шахматы, при этом после первой игры они меняют цвет фигур. Если Вася играет в шахматы за белые фигуры, то он выигрывает с вероятностью 0.7, а если за черные, то с вероятностью 0.5. Какая вероятность, что Вася выиграет обе игры?

Решение:
Вероятность победы белыми фигурами:
$$P(Б)=0.7;$$
Вероятность победы черными фигурами:
$$P(Ч)=0.5;$$

Вероятность победы во второй партии никак не зависит от результата первой партии. Поэтому результаты в первой и второй играх — это независимые события.

Нас спрашивают: какая вероятность, что Вася выиграет первую партию И вторую — волшебное слово «И»

Чтобы посчитать искомую вероятность независимых событий нужно перемножить их вероятности:
$$P(Б\;и\;Ч)=P(Б)*P(Ч)=$$
$$=0.7*0.5=0.35;$$
Обратите внимание, что абсолютно не важно, в каком порядке они играют партии. Ответ: \(P(Б\;И\;Ч)=0.35.\)

Пример 2Вероятность, что лампочка бракованная 0.04. В магазине лампочки продаются в упаковках по две штуки. Найдите вероятность, что хотя бы одна лампочка в упаковке исправна.

Решение:
Лампочка бракованная и лампочка исправна — это два противоположных события. Найдем вероятность, что лампочка исправна:
$$P(Ис)=1-P(Бр)=$$
$$=1-0.04=0.96;$$
Для того, чтобы хорошо разобраться в задаче, рассмотрим, какие варианты событий могут быть:

• 1-я лампочка исправна, 2-я бракованная;
• 1-я исправна, 2-я исправна;
• 1-я бракованная, 2-я исправна;
• 1-я бракованная, 2-я бракованная;

Обратите внимание, что все эти события неравновероятны. Посчитаем вероятность каждого события

Какая вероятность, что 1-я лампочка исправна И 2-я бракованная:
$$P(Ис\;и\;Бр)=P(Ис)*P(Бр)=$$
$$=0.96*0.04=0.0384;$$
Вероятность, что 1-я исправна И 2-я тоже исправна:
$$P(Ис\;и\;Ис)=P(Ис)*P(Ис)=$$
$$=0.96*0.96=0.9216;$$
Вероятность, что 1-я бракованная И 2-я исправна:
$$P(Бр\;и\;Ис)=P(Бр)*P(Ис)=$$
$$=0.96*0.04=0.0384;$$
Вероятность, что 1-я бракованная И 2-я бракованная:
$$P(Бр\;и\;Бр)=P(Бр)*P(Бр)=$$
$$=0.04*0.04=0.0016;$$
Из четырех вариантов нас устраивают три:
$$ИсБр \; или \; ИсИс \; или \; БрИс;$$
В этих случаях как минимум одна лампочка исправна. Волшебное слово «ИЛИ» — складываем вероятности:

Посчитаем вероятность каждого события.
Какая вероятность, что 1-я лампочка исправна И 2-я бракованная:
$$P(Ис\;и\;Бр)=P(Ис)*P(Бр)=$$
$$=0.96*0.04=0.0384;$$
Вероятность, что 1-я исправна И 2-я тоже исправна:
$$P(Ис\;и\;Ис)=P(Ис)*P(Ис)=$$
$$=0.96*0.96=0.9216;$$
Вероятность, что 1-я бракованная И 2-я исправна:
$$P(Бр\;и\;Ис)=P(Бр)*P(Ис)=$$
$$=0.96*0.04=0.0384;$$
Вероятность, что 1-я бракованная И 2-я бракованная:
$$P(Бр\;и\;Бр)=P(Бр)*P(Бр)=$$
$$=0.04*0.04=0.0016;$$
Из четырех вариантов нас устраивают три:
$$ИсБр \; или \; ИсИс \; или \; БрИс;$$
В этих случаях как минимум одна лампочка исправна. Волшебное слово «ИЛИ» — складываем вероятности:

Независимые и зависимые события

События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если на вероятность того, что произойдет событие \(A,\) никак не влияет, произошло событие \(B\) или нет.
Пример независимых событий:

• Бросаем кубик 2 раза. Вероятность, что во втором броске выпадет тройка, никак не зависит от того, что произошло в первом броске;
• Бросаем монету 2 раза. Вероятность выпадения решки во втором броске никак не зависит от результата первого броска;
• Вероятность того, что при броске монеты выпадет орел, никак не зависит от того, идет дождь за окном или нет;

Примеры зависимых событий:

• Студенты тянут билеты на экзамене друг за другом. Вероятность вытянуть хороший билет напрямую зависит от того, какие билеты вытянули до вас;
• Достаем карту из колоды карт два раза подряд, первая вытянутая карта не возвращается в колоду. Тогда вероятность вытянуть за второй раз трефу зависит от того, что мы вытянули в первый раз;

Волшебное слово «И»

ТеоремаВероятность того, что одновременно произошли независимые события \(A\) и \(B\) можно посчитать по формуле произведения вероятностей:
$$P(A\;и\;B)=P(A)*P(B).$$

Разберем на примерах:Пример 1Какая вероятность, что за два броска монеты оба раза выпадет орел?

Решение:
Первый бросок никак не влияет на второй, поэтому броски независимы. Вероятность, что при броске монеты выпадет орел:
$$P(O)=\frac{1}{2};$$
Тогда по формуле произведения вероятностей:
$$P(O\; и \;O)=P(O)*P(O)=$$
$$=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0,25;$$
Ответ: \(P(OO)=0,25.\)

Пример 2Какая вероятность, что за три броска игрального кубика выпадет три четверки?

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

.

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле: