Разряды и классы чисел по математике

Что такое математика?

Часто можно услышать высказывание «Математика-царица наук». А существует ли история математики, и что же это за наука? Так ли она необходима в современном мире?

Любой из нас ежедневно выполняет множество действий, которые неразрывно связаны с математикой, но даже не догадывается об этом. Посмотрите вокруг — компьютеры, телефоны, кондиционеры, телевизоры, но для правильного использования домашней техники необходимы знания, связанные с математикой. Идем дальше — магазины, спортивные секции, танцевальные занятия, увлечение литературой также нельзя представить без использования математики. Математические знания облегчают жизнь и делают её насыщенной.

Давайте разберемся, что такое математика:            

Дословный перевод с греческого утверждает, что математика — это наука или изучение. Более точное определение поясняет, что это наука, изучающая величины, числовые отношения и формы.

В школьном курсе изучения представлены такие разделы математики:

В основе изучения математики лежит ряд математических понятий и действий, без понимания которых невозможно выполнять простейшие вычисления.

Задача о наибольшем и наименьшем разряде в числе

В математике существует понятие «разряд числа». Разряд — это позиция цифры в числе относительно запятой. Например, в числе 123.45:

• 1 находится в разряде сотен (разряд сотен равен 10^2)
• 2 находится в разряде десятков (разряд десятков равен 10^1)
• 3 находится в разряде единиц (разряд единиц равен 10^0)
• 4 находится в разряде десятых (разряд десятых равен 10^(-1))
• 5 находится в разряде сотых (разряд сотых равен 10^(-2))

Чтобы найти наибольший разряд в числе, нужно определить количество цифр в числе и вычесть из этого количества 1. Например, в числе 123.45 наибольший разряд — сотни (разряд сотни равен 10^2), так как в числе три цифры, и мы вычитаем единицу.

Чтобы найти наименьший разряд в числе, нужно определить позицию запятой в числе и вычесть из этой позиции 1. Например, в числе 123.45 наименьший разряд — сотые (разряд сотые равен 10^(-2)), так как запятая находится за двумя цифрами, и мы вычитаем единицу.

Знание этих понятий важно для понимания места цифр в числах и для решения задач на разряды чисел

Понятие числа. Виды чисел

В понятие числа входит обозначение количественного состава чего-либо.Это одно из главных определений в математике. Каждый вид числа появлялся в результате необходимости выполнения человеком тех или иных расчетов. В связи с необходимостью владеть информацией о количестве предметов, появилось понятие натурального числа и бесконечности ряда натуральных чисел. Необходимость измерения площадей, длин, объемов — породила рациональное число. Для решения сложных уравнений ввели комплексные числа.

• Натуральные числа — это числа, получаемые при определении количества 1,2,3. Множество таких чисел принято обозначать буквой N. Например: 1,2,3 …..
• Целые числа. Определение понятия формулируется так: множество натуральных, отрицательных чисел и нуль. Их принято обозначать буквой Z. Например: -2,-1,0,1,2,3,4…..
• Рациональные числа. В понятие рационального числа входят дроби m/n, где n≠0, при этом m — целое число, а n — натуральное. Обозначаются буквой Q. Например: 2/3, -4/5
• Действительные. В понятие действительного числа включены рациональные и иррациональные числа, которые могут записываться в виде обычной и десятичной конечной и бесконечной дробей, а также нуль. Обозначаются буквой R. Например: 1245, 5⅔, -648,35
• Простыми называют натуральные числа, которые можно представить в виде двух множителей — единицы и самого этого числа. Обозначается буквой Р. Например: 1,3,7,11….
• Также существуют Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными, то есть нельзя представить в виде дроби m/n, где n≠0, при этом m — целое число, а n — натуральное. Например, число  пи=3,1415926535, число e=2.718281828, квадратный корень из 3 и так далее.

Количество разрядов в зависимости от размера числа

В математике число разбивается на разряды, которые определяют его порядок. Количество разрядов в числе зависит от его размера. Чем больше число, тем больше разрядов оно имеет. Рассмотрим несколько примеров:

1. Одноразрядные числа

Одноразрядные числа — это числа от 0 до 9. У них всего один разряд. Например:

• 5
• 9

Двуразрядные числа

Двуразрядные числа — это числа от 10 до 99. У них два разряда. Например:

• 15
• 73
• 99

Трехразрядные числа

Трехразрядные числа — это числа от 100 до 999. У них три разряда. Например:

• 105
• 456
• 789
• 999

Многоразрядные числа

Многоразрядные числа — это числа, имеющие более трех разрядов. Например:

• 1000
• 12345
• 987654
• 1000000

Таким образом, чем больше число, тем больше разрядов оно содержит. Количество разрядов в числе можно определить, посчитав количество цифр в его записи. Количество разрядов в числах помогает упростить выполнение арифметических операций и решение задач.

Математические действия

Существование математики невозможно без выполнения математических действий. Всего существует 4 вида арифметических действий:

Порядок выполнения математических действий в выражениях со скобками и без скобок

Так же имеется определенный порядок математических действий, запомнив который с легкостью можно решать задания любой сложности. Этот порядок зависит от наличия скобок и предложенных действий:

При отсутствии скобок, действия выполняются в обычном порядке. Вот правильный порядок математических действий в примере без скобок:

 24+16-5=35

1 действие: 24+16=40

2 действие: 40-5=35

В любом выражении первыми необходимо выполнить умножение или деление в порядке очереди. Вот правильный порядок арифметических действий без скобок:

 40-4×5+50=70

1 действие: 4×5=20

2 действие: 40-20=20

3 действие: 20+50=70 

Когда выражение содержит скобки, первыми вычисляются действия в скобках, а потом по порядку все остальные. Вот необходимый порядок математических действий в примере со скобками:

5+(20-10):2=10

1действие: 20-10=10

2 действие: 10:2=5

3 действие: 5+5=10

Все очень просто. Если сразу запомнить не получается, то можно пользоваться этим уроком, как шпаргалкой!

Следующий интересный момент заключается в том, что любой компонент математического действия имеет свое название:

Правила нахождения неизвестного компонента при выполнении математических действий

Для того, чтобы максимально упростить решение задач и уравнений, существуют специальные правила нахождения неизвестного компонента:

1) Сложение:

— для нахождения одного из слагаемых необходимо от суммы отнять второе слагаемое:

Например:

?+48=50;

?=50-48=2.

2) Вычитание:

-для нахождения уменьшаемого достаточно найти сумму разности и вычитаемого:

Например:

?-25=50;

?=50+25+75.

-для нахождения вычитаемого, нужно от уменьшаемого отнять разность

Например:

44-?=10;

?=44-10=34.

3) Умножение:

— для нахождения множителя, необходимо найти частное произведения и второго множителя

Например:

?×6=48;

?=48:6=8.

4) Деление:

— для нахождения неизвестного делимого, необходимо найти произведение делителя и частного

Например:

?:11=3;

?=11×3=33.

— для нахождения неизвестного делителя, необходимо делимое разделить на частное

Например:                                                 

95:?=19;

?=95:19=5.

Интересные сведения из истории возникновения математики

Откуда же взялась математика? Куда же уходит корнями история развития математики? Самым первым источником появления простейшей математики ученые считают пальцы на руках и ногах, а также различные части тела. Об этом свидетельствует множество наскальных рисунков, дошедших до нашего времени. Учеными установлено, что 6 тысяч лет назад древние вавилоняне уже использовали простые математические действия: для бытовых нужд, учета скота, подсчета количества урожая, размера прибыли и расходов, при совершении купли или продажи различных товаров. Позже они же первые упоминают о решении математических задач и уравнений повышенной сложности. К самым первым математическим открытиям относят возникновение математических действий, которые известны нам как сложение, вычитание, умножение и деление.

Ученые-историки до сих пор спорят о точной дате появления этой науки и о месте, где впервые она появилась. Конкурентами в этом споре выступают древний Вавилон и Египет. Самые первые подтверждения математической деятельности принадлежат Свазиленду. Там найдены кости бабуинов с нанесенными черточками, которые явно говорят о первых математических операциях, выполненных 40000 лет назад.

А когда же появились дроби? Упоминания о дробях возникли гораздо позже, но уже достоверно известно, что жители древнего Египта совершали операции с дробями, у которых числителем являлась единица.

А вот представление о десятичных дробях появилось всего лишь пять столетий назад, а в Европу попало только через 200 лет после появления.

 

Невероятные факты, связанные с математикой:

• Всю математическую науку возможно записать в сто тысяч томов;
• Центилион — самое большое известное число, содержащее шестьсот нулей;
• Наименьшее число используется только в астрономии. Названия не имеет. Записывается дробью; после запятой имеет сто миллионов триллионов нулей, а в конце единицу;
• Самая магическая цифра, которая таит множество суеверий — 666. В Европейской палате все время пустует только одно кресло под номером 666. Во всем мире люди стараются не использовать это число. Такой номер не присваивается телефонным кодам, автобусам,трассам или поездам;
• В Китае самым суеверным числом считают число 4. При этом, такой номер не присваивается домам, квартирам, нет даже 4 этажа.

Математика очень дружна со всеми существующими науками, видами деятельности и профессиями. Одно мудрое выражение гласит «Математика-язык других наук». Поспорить с этим очень сложно, ведь она является основой для развития таких дисциплин:

• Химия;
• Физика;
• Астрономия;
• Биология;
• История;
• Экономика;
• География;
• Информатика;
• Политология;
• Музыка;
• Литература.

Теперь мы можем с уверенностью сказать, что знание математики — залог вашей успешности и развития не только в будущем, а уже сегодня!

Использование разрядов в сложении и вычитании чисел

Разряды чисел — это позиционная система записи чисел, которая позволяет нам оперировать цифрами внутри числа в зависимости от их позиции. В сложении и вычитании чисел, мы также используем разряды для правильного выполнения этих операций.

При сложении чисел мы начинаем с самого правого разряда (единиц), складываем цифры в этом разряде и записываем результат. Если сумма чисел превышает 9, мы записываем остаток от деления на 10 и запоминаем единицу для следующего разряда (десятки). Затем мы переходим к следующему разряду (десятки) и складываем его цифры вместе с запомненной единицей, и так далее.

Например, для сложения чисел 123 и 456:

1. Складываем цифры в разряде единиц: 3 + 6 = 9 (запоминаем 9, остаток от деления на 10)
2. Складываем цифры в разряде десятков: 2 + 5 + 1 (запомненная единица) = 8 (запоминаем 8, остаток от деления на 10)
3. Складываем цифры в разряде сотен: 1 + 4 + 0 (запомненная единица) = 5

Таким образом, результат сложения чисел 123 и 456 равен 579.

В случае вычитания чисел мы также начинаем с правого разряда (единиц) и вычитаем цифры друг из друга. Если разность отрицательна, мы занимаем 1 из следующего разряда. Затем мы переходим к следующему разряду и продолжаем вычитать цифры, занимая единицу при необходимости.

Например, для вычитания чисел 456 из 123:

1. Вычитаем цифры в разряде единиц: 3 — 6 = -3 (занимаем 1 из следующего разряда)
2. Вычитаем цифры в разряде десятков: 1 — 5 — 1 (занимаем 1 из следующего разряда) = -5
3. Вычитаем цифры в разряде сотен: 0 — 4 — 1 (занимаем 1 из следующего разряда) = -5

Таким образом, результат вычитания чисел 456 из 123 равен -333.

Использование разрядов помогает нам правильно выполнять сложение и вычитание чисел, и понимать взаимосвязь между разрядами в числах.