Понятие релятивистской механики

Чему равна кинетическая энергия

Вспомним как вычисляется кинетическая энергия. Если на тело массы m действует сила F, то его скорость v начнет изменяться. При перемещении тела на расстояние s, будет совершена работа A:

$ A = F * s $ (1)

По второму закону Ньютона сила равна:

$ F = m * a $ (2)

где a — ускорение.

Из известных формул, полученных в разделе механики, следует, что модуль смещения s при равноускоренном прямолинейном движении связан с модулями конечной v₂, начальной v₁ скоростей и ускорения a следующей формулой;

$ s = {{v_2^2-v_1^2}\over {2*a}} $ (3)

Тогда можно получить формулу для вычисления работы:

$ A = F * s = m * a * {{v_2^2 – v_1^2}\over 2*a} = {m * v_2^2\over 2} -{m*v_1^2\over 2} $ (4)

Величина, равная произведению массы тела m на квадрат его скорости, деленный пополам называется кинетической энергией тела E_k:

$ E_k = {m * v^2\over 2} $ (5)

Из формул (4) и (5) следует, что работа A равна:

$ A = E_{k2} – E_{k1} $ (6)

Таким образом, работа, совершенная силой, приложенной к телу оказалась равна изменению кинетической энергии тела. Значит любое физическое тело движущееся с ненулевой скоростью, обладает кинетической энергией. Следовательно, в состоянии покоя, при скорости v равной нулю и кинетическая энергия покоя будет также равна нулю.

Рис. 1. Примеры кинетической энергии:.

Инвариантность скорости света. Принцип относительности Эйнштейна

В 1905 г. Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО). В основе его теории относительности лежат два постулата:

• Любые физические явления во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях протекают одинаково (принцип относительности Эйнштейна).
• Скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит от скорости источника и приемника света (принцип постоянства скорости света).

Первый постулат распространяет принцип относительности на все явления, включая электромагнитные. Проблема применимости принципа относительности возникла с открытием электромагнитных волн и электромагнитной природы света. Постоянство скорости света приводит к несоответствию с законом сложения скоростей классической механики. По мысли Эйнштейна, изменения характера взаимодействия при смене системы отсчета не должно происходить. Первый постулат Эйнштейна непосредственно вытекает из опыта Майкельсона–Морли, доказавшего отсутствие в природе абсолютной системы отсчета. В этом опыте измерялась скорость света в зависимости от скорости движения приемника света. Из результатов этого опыта следует и второй постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света в вакууме, который вступает в противоречие с первым постулатом, если распространить на электромагнитные явления не только сам принцип относительности Галилея, но и правило сложения скоростей. Следовательно, преобразования Галилея для координат и времени, а также его правило сложения скоростей к электромагнитным явлениям неприменимы.

Следствия из постулатов СТО

Если проводить сравнение расстояний и показаний часов в разных системах отсчета с помощью световых сигналов, то можно показать, что расстояние между двумя точками и длительность интервала времени между двумя событиями зависят от выбора системы отсчета.

Относительность расстояний:

где ​\( I_0 \)​ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится, ​\( l \)​ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется, ​\( v \)​ – скорость тела.

Это означает, что линейный размер движущегося относительно инерциальной системы отсчета уменьшается в направлении движения.

Относительность промежутков времени:

где ​\( \tau_0 \)​ – промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной точке инерциальной системы отсчета, ​\( \tau \)​ – промежуток времени между этими же событиями в движущейся со скоростью ​\( v \)​ системе отсчета.

Это означает, что часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший промежуток времени между событиями (замедление времени).

Закон сложения скоростей в СТО записывается так:

где ​\( v \)​ – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, ​\( v’ \)​ – скорость тела относительно подвижной системы отсчета, ​\( u \)​ – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной, ​\( c \)​ – скорость света.

При скоростях движения, много меньших скорости света, релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический, а длина тела и интервал времени становятся одинаковыми в неподвижной и движущейся системах отсчета (принцип соответствия).

Для описания процессов в микромире классический закон сложения неприменим, а релятивистский закон сложения скоростей работает.

Кинетическая и потенциальная энергия — что это такое, в чем выражается

Различают следующие формы энергии:

• тепловая;
• механическая;
• химическая;
• электрическая;
• ядерная.

Состояние системы тел, то есть энергия системы, может изменяться. Причина такого процесса заключается в работе внешних по отношению к рассматриваемой системе тел. Механическая энергия может быть двух видов:

• потенциальная;
• кинетическая.

Рассматривая механическую систему тел, анализируют:

• взаимное положение тел в системе (потенциальная энергия);
• скорости, которыми эти тела обладают (кинетическая энергия).

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль .

Таким образом, механическая энергия зависит от движения и потенциала, который определяется положением и состоянием задействованной системы. Энергию можно идентифицировать, как универсальную количественную меру, являющуюся характеристикой движения и взаимодействия тел.

Наглядные примеры помогут рассмотреть проявление кинетической и потенциальной энергии в движении и состоянии некого тела.

Преобразование Лоренца

В классической физике при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой использовались преобразования Галилея. При этом очевидно, что они несовместимы со втором постулатом Эйнштейна, из которого следует, что скорость света во всех инерциальных системах одна и та же. В то же время следствием преобразований Галилея является классический закон сложения скоростей, которые не коррелирует с этим утверждением.
В классических преобразованиях \(t=t’\), то есть события, которые одновременны в одной системе отсчета, будут таковыми же и в любой другой. Но так ли это, если принять второй постулат Эйнштейна? Нет. Потому появилась необходимость в новых преобразованиях координат и времени, которые бы позволили переходить от одной системы отсчета к другой.

Преобразования, в основе которых лежат постулаты Эйнштейна, называются преобразованиями Лоренца.

С учетом того, что все инерциальные системы отсчета равноправны, преобразования Лоренца должны быть линейными относительно \(x, y, z, t \) и \( x’,y’, z’, t’\). Любая другая зависимость между этими элементами говорила бы о неравноправии систем отсчета. Линейный характер преобразований Галилея и Лоренца приводит к решению о том, что они должны различаться только коэффициентами пропорциональности. В преобразованиях Галилея этот коэффициент равен единице

\(x’ = x – Vt,\)

\(x = x’ + Vt’.\)

В свою очередь в преобразованиях Лоренца он равен \(y.\)

\(x’ = y(x – Vt),\)

\(x = y(x’ + Vt’).\)

Расчет для \(t\) в преобразованиях Лоренца будет иметь следующий вид:

\(t=\frac{t’+\frac{Vx’}{c^2}}{\sqrt[]{1-\frac{V^2}{c^2}}} .\)

Соответственно,

\(t’=\frac{t–\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt[]{1-\frac{V^2}{c^2}}} .\)

Следствия из преобразований Лоренца:

относительность промежутков времени между событиями;

\(Δt = \frac{Δt0}{\sqrt[]{1-\frac{V^2}{c^2}}} ,\)

где \(Δt \)– промежуток времени между событиями, а \(Δt0\) – собственное время.

относительность размеров движущихся тел;

\(l = l0\sqrt[]{1-\frac{V^2}{c^2}} ,\)

где \(l0\) – собственная длина.

релятивистский закон сложения скоростей;

\(u=\frac{v+v1}{1+\frac{vv1}{c^2}}.\)

Проекция скорости материальной точки на координатные оси в системе \(K\):

\(ux=\frac{dx}{dt}\)

\(uy=\frac{dy}{dt}\)

\(uz=\frac{dz}{dt}\)

Проекция скорости материальной точки на координатные оси в системе \(K\)’:

\(ux’=\frac{dx’}{dt}\)

\(uy’=\frac{dy’}{dt}\)

\(uz’=\frac{dz’}{dt}.\)

Примеры взаимопревращений

Без конкретных примеров соотношение массы и энергии останется чем-то таинственным. Поэтому приведем примеры, как можно использовать энергию покоя, заключенную в объектах. Сразу после открытия этой эквивалентности появились разговоры о возможных ее практических применениях, что и было сделано в 20 веке.

Превращение массы в энергию

Высвобождение энергии покоя происходит в основном за счет превращения ее в тепловую, то бишь в энергию движения частиц.

Ядерные и термоядерные реакции

Пример термоядерной реакции, происходящей на Солнце

В ходе данных реакций (деление или синтез ядер) происходит высвобождение огромной энергии, при котором происходит дефект масс: масса до реакции была больше, чем после и собственно она и превращается в энергию.

Мирное применение нашла только реакция деления ядра, однако работы по укрощению термоядерной реакции активно ведутся. Вполне возможно, что мы скоро увидим новый источник энергии, такой, как на Солнце.

Аннигиляция материи и антиматерии

При данном процессе происходит взаимное уничтожение частиц и античастиц, тем самым высвобождается огромный объем энергии, в основном в виде фотонов.

В настоящий момент практическое применение явления аннигиляции невозможно, так как при нынешних технологиях даже не удалось создать достаточного количества антивещества и хоть немного долго удержать ее. В будущем, вполне вероятно, данный процесс будет использоваться, например, в межзвездных полетах, где потребуется много энергии.

Обратный процесс превращения энергии в массу

Если масса может превращаться в энергию, то может ли происходить обратный процесс? Ответ — да, превращение энергии в массу тоже можно наблюдать, но в реальности это в разы труднее осуществить.

Электромагнитная волна становится электроном

Этот эффект наблюдается тогда, когда у электромагнитной волны такая частота ν, что ее энергия E = hν будет больше, чем энергия покоя электрона. В этом случае волна может превратиться в электрон, либо в античастицу электрона — позитрон.

Столкновение частиц на большой скорости

В массу может превращаться кинетическая энергия частиц, движущихся с околосветовой скоростью в момент их столкновения с другими. В этом случае появляются новые частицы с массой большей, чем масса участвующих частиц до столкновения.

Лишняя масса — это результат перехода кинетической энергии в массу новой частицы. Подобные процессы происходят далеко в космосе или в некоторых коллайдерах.

Смысл формулы Эйнштейна: связь энергии и массы

Как это работает? Например: жаба греется на солнце, девушки в бикини играют в волейбол, вокруг красота. Почему все это происходит? Прежде всего, из-за термоядерного синтеза, который протекает внутри нашего Солнца.

Там атомы водорода сливаются, образуя гелий. На других звездах протекают такие же реакции или реакции с более тяжелыми элементами, но суть остается той же. В результате реакции выделяется энергия, которая летит к нам в виде света, тепла, ультрафиолетового излучения и космических лучей.

Откуда берется эта энергия? Дело в том, что масса двух вступивших в реакцию атомов водорода больше, чем масса образовавшегося в результате атома гелия. Эта разница масс и превращается в энергию!

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один пример — механизм работы ядерного реактора.

Термоядерный синтез на Солнце неуправляемый. Люди уже освоили этот тип синтеза на Земле и построили водородную бомбу. Если бы мы могли замедлить реакцию и получить управляемый термоядерный синтез, у нас был бы практически неиссякаемый источник энергии.

О материи и энергии

Итак, мы выяснили смысл формулы и  рассказали о принципе эквивалентности массы и энергии.

При этом важно не путать понятия материи и энергии и понимать, это это разные вещи. Фундаментальный закон природы – закон сохранения энергии

Он гласит, что энергия ниоткуда не берется и никуда не девается, ее количество во Вселенной постоянно, изменяется только форма. Закон сохранения массы является частным случаем для закона сохранения энергии

Фундаментальный закон природы – закон сохранения энергии. Он гласит, что энергия ниоткуда не берется и никуда не девается, ее количество во Вселенной постоянно, изменяется только форма. Закон сохранения массы является частным случаем для закона сохранения энергии.

Что есть энергия, а что — материя? Посмотрим на вещи с вот такой стороны: когда частица движется со скоростью, близкой к скорости света, она рассматривается как излучение, то есть энергия. Покоящаяся или движущаяся с медленной скоростью частица определяется как материя.

В момент Большого Взрыва материи не существовало, была лишь энергия. Потом Вселенная остыла, и часть энергии перешла в материю.

Самая известная формула Эйнштейна

Сколько энергии заключено в материи? Зная массу тела, мы можем рассчитать, чему равна энергия этого тела согласно формуле Эйнштейна. Скорость света сама по себе немаленькая величина, а ее квадрат – и подавно. Это значит, что в очень маленьком кусочке материи заключена огромная энергия. Подтверждение тому – атомная энергетика.

Таблетка ядерного топлива (на АЭС используется обогащенный уран) весит 4,5 грамма. Но дает энергию, эквивалентную энергии от сжигания 400 килограммам угля. Хороший КПД, не так ли?

Итак, самая знаменитая формула физики говорит о том, что материю можно преобразовать в энергию и наоборот. Энергия никуда не исчезает, а лишь изменяет свою форму.

Как определить значение потенциальной энергии

Потенциальная энергия является энергией взаимодействия тел системы или разных частей одного тела и определяется их взаимным положением. В связи с тем, что тела взаимодействуют с Землей, они обладают потенциальной энергией взаимодействия с Землей.

В том случае, когда тело с массой m падает с высоты  до высоты , работа силы тяжести ​ на отрезке ​ равна: ​

В записанном уравнении  является характеристикой начального положения (состояния) тела, а  — конечного положения (состояния) тела. Величина  представляет собой потенциальную энергию тела в начальном состоянии; величина  является потенциальной энергией тела в конечном состоянии. Таким образом:

Из представленных уравнений можно сделать вывод о равенстве работы силы тяжести изменению потенциальной энергии тела. Знак «–» говорит об уменьшении величины потенциальной энергии в процессе движения тела вниз и соответственно при совершении силой тяжести положительной работы. В том случае, когда тело движется вверх, работа силы тяжести имеет отрицательное значение, а потенциальная энергия тела увеличивается. При нахождении тела на какой-то высоте ​h​ по отношению к поверхности Земли, его потенциальная энергия, характерная для данного состояния, определяется, как:

Величина потенциальной энергии зависит от уровня, относительно которого она отсчитывается. Уровень, на котором потенциальная энергия обладает нулевым значением, называют нулевым. Потенциальной энергией обладают тела в состоянии покоя, что отличает ее от кинетической энергии. В связи с тем, что потенциальная энергия является энергией взаимодействия, данную характеристику относят не к одному телу, а к системе тел, которые взаимодействуют между собой. В данном случае в состав системы входят Земля и поднятое над ней тело.

Запас потенциальной энергии характерен для упруго деформированных тел. Допустим, что имеется некая пружина, левый край которой зафиксирован, а к правому концу пружины прикрепили груз. При сжатии пружины правый конец смещается на . В пружине можно наблюдать возникновение силы упругости, которая направлена в правую сторону . Если отпустить пружину, ее правый конец изменит положение, а удлинение пружины составит . При этом сила упругости примет значение .

Таким образом, работа силы упругости определяется, как изменение потенциальной энергии пружины. Можно записать следующее равенство:

Знак «–» в данном случае обозначает отрицательную работу, которую совершает сила упругости в процессе растяжения и сжатия пружины. Значение потенциальной энергии пружины возрастает. Если пружина движется к положению равновесия, силой упругости совершается положительная работа, а потенциальная энергия при этом будет уменьшаться. В том случае, когда пружина деформирована, и ее витки смещены по отношению к равновесному положению на расстояние x, потенциальная энергия пружины рассчитывается, как:

Энергия покоя

Если тело не движется, то его скорость равна нулю, а масса называется массой покоя m. Покоящееся тело обладает энергией:

Здесь Е — энергия покоя тела.

Элементарные частицы обладают массой покоя. Во время ядерных реакций их энергия покоя преобразуется в кинетическую энергию новых частиц.

Уравнение Эйнштейна оказало существенную роль в истории исследования деления ядер в качестве инструмента ядерной энергетики. Так как энергия и масса эквиваленты, высокочувствительные измерения масс различных ядер атомов дали исследователям важные подсказки о силах ядерных реакций. Уравнение Эйнштейна не говорит учёным почему энергия ядерной связи является большой величиной, но открывает один из способов её измерения.

Взаимосвязь между массой и энергией сыграла решающую роль в истории создания атомной бомбы. По просьбе физика Лео Силарда, Эйнштейн написал письмо американскому президенту Т. Рузвельту, рассказывая в нём о потенциальной силе ядерного оружия и о возможностях нацистской Германии для создания такого оружия, а также призвал президента принять меры. Это письмо сыграло роль в политических процессах, которые завершились в проекте Манхэттен — разработке, изготовлении и испытаниях первой атомной бомбы.

Энергия покоя

Формула (5) для кинетической энергии справедлива для скоростей много меньших скорости света с, которая равна 300000 км/с. Альберт Эйнштейн (1879-1955г.г.) создал специальную теорию относительности, в которой кинетическая энергия Е_к частицы массой m, движущейся со скоростью v, есть:

$ Е_к = m_0 * с^2\over \sqrt{1 – {v^2\over c^2}} – m_0 * с^2 $ (8)

При скорости v много меньше скорости света с (v << c) формула (8) переходит в классический вид, т.е. в формулу (5).

При v = 0 кинетическая энергия будет тоже равна нулю. Однако полная энергия Е будет равна:

$ E_0 = m_0 * с^2 $ (9)

Выражение $m_0*с^2$ называется энергией покоя. Существование не равной нулю энергии у покоящегося тела означает, что физическое тело обладает энергией благодаря своему существованию.

Рис. 3. Портрет Альберта Эйнштейна:.

По Эйнштейну — сумма энергии покоя (9) и кинетической энергии (8) дает полную энергию частицы E_п :

$ Eп = m_0 * с^2\over \sqrt{1 – v^2\over c^2} = m * c^2 $ (10)

Формула (10) показывает связь между массой тела его энергией. Оказывается, изменение массы тела приводит к изменению его энергии.

Что мы узнали?

Итак, мы узнали, что кинетическая энергия покоя обычного физического тела (или частицы) равна нулю, т.к. его скорость равна нулю. Кинетическая энергия частиц, из которых состоит покоящегося тело будет отлична от нуля, если его абсолютная температура не равна нулю. Отдельной формулы кинетической энергии покоя не существует. Для определения энергии покоящегося тела допустимо использование выражений (7) – (9), имея в виду, что это внутренняя энергия частиц, составляющих тело.

1. /5

   Вопрос 1 из 5