Геометрия лобачевского кратко и понятно

Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским

1) В Лобачевского геометрия не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p — (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b`, которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b`) и перпендикуляром из О на а — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b` с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Лобачевского геометрия переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Лобачевского геометрии.Лобачевского геометрия продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Лобачевского геометрия является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Путь первооткрывателя

Будущий создатель неевклидовой геометрии родился в Нижнем Новгороде в 1792 году. Он рос с двумя братьями без отца. Тот, мелкий чиновник-геодезист родом из крепостных, рано скончался. Мать Лобачевского была женщиной энергичной и смогла дать сыновьям хорошее образование за казенный счет. Все трое Лобачевских окончили единственную на тот момент в Поволжье и Сибири Казанскую гимназию и поступили в недавно открывшийся на ее основе Императорский университет — тогда самый восточный в России.

Здесь Лобачевский сделал стремительную карьеру. В 19 лет он уже читал лекции, в 21 год стал адъюнктом (доцентом по сегодняшним меркам), в 23 — профессором, в 28 — деканом физико-математического факультета, а в 34 — ректором. Ректоров в те времена избирали университетские советы; за Лобачевского ученые мужи голосовали шесть раз.

Портрет Николая Лобачевского работы Льва Крюкова, 1839 год. Источник

Трудно назвать раннюю жизнь Лобачевского легкой. Обучаясь за казенный счет, он жил практически в казарменных условиях: не мог свободно покидать гимназию и университет и видеться даже с матерью, обязан был следовать строгому расписанию и дисциплине. Тем не менее юноша рос свободолюбивым и упрямым.

Например, любил пошалить. Его имя 33 раза была вписано в специальную книгу нарушений — кондуит. Лобачевский катался на корове, на спор перепрыгивал тучного профессора Никольского, ходил на маскарады, несмотря на запрет, пускал ракету в университетском дворе. За последний проступок он отсидел трое суток в карцере — тогда это была такая воспитательная мера. А за участие в маскарадах Лобачевского чуть не отчислили и не отправили в солдаты. Позднее, уже будучи ректором, он не судил провинившихся студентов строго и даже спасал некоторых. Например, студента Криницына, который разбил окно в церкви и мог быть отправлен в солдаты, а в итоге окончил университет и получил хорошую должность в Сибири. Незадолго до смерти Лобачевского Криницын навестил своего спасителя и горячо поблагодарил его.

Упорная евклидова геометрия и ее пятый постулат

Геометрия как наука сложилась давно — несколько тысячелетий назад. Знания о пространстве начали собирать еще представители древнейших цивилизаций: египетской, вавилонской, индийской, эгейской (крито-микенской). Они, размечая поля и возводя здания, обнаружили множество геометрических правил. В III веке до н. э. древнегреческий ученый Евклид обобщил все известные на тот момент сведения о геометрии в труде «Начала». Именно на основе «Начал» в дальнейшем геометрия веками развивалась как наука, а сам труд стал образцом научного изложения.

Евклид установил пять постулатов и девять аксиом. Почти два тысячелетия на них строилась вся геометрия — евклидова геометрия. Вот эти пять постулатов:

Через две точки можно провести прямую.
Отрезок прямой можно неограниченно продолжить.
Данным радиусом из данной точки можно провести окружность.
Все прямые углы равны между собой.
На плоскости через точку, лежащую вне прямой, проходит только одна параллельная, то есть не пересекающаяся с первой прямой.

Заметно, что последний постулат Евклида сложнее остальных и менее «интуитивен». Особенно это бросается в глаза, если обратиться не к более поздней формулировке, представленной выше, а к оригиналу Евклида. Тот говорил, что если сумма углов при пересечении двух прямых третьей будет меньше 180°, то они непременно пересекутся.

Пятый постулат очень важен, так как из него выводится доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180° или, например, вывод о существовании прямоугольников. При этом истинность пятого постулата недоказуема на чертеже: бесконечно вести две параллельные прямые попросту невозможно

На то, что аксиома Евклида больше похожа на теорему, обратили внимание еще в Античности

Поэтому ученые веками пытались найти доказательство пятого постулата. Этим занимались античные мыслители Посидоний (II— I века до н. э.), Клавдий Птолемей (II век н. э.) и неоплатоник Прокл (410–485). Затем задачу пытались решить арабские исследователи Аль-Аббас аль-Джаухари и Сабит ибн Курра (оба — IX век), Омар Хайям (1048–1131) и Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Потом за пятый постулат взялись европейцы: Леви бен Гершома (1288–1344), иезуит Христофор Клавий (1537–1612), гениальный английский математик-самоучка Джон Валлис (1616–1703), французы Алексис Клеро (1713–1765) и Адриен-Мари Лежандр (1752–1833), русский академик Семен Гурьев (1766–1813) и др.

Решение

Рис. 3. На обоих рисунках серым цветом выделена одна и та же область плоскости Лобачевского. Слева она изображена в модели Пуанкаре, справа она вложена в трехмерное пространство. Область ограничена линиями a, b и c. a и b — лучи Лобачевского, перпендикулярные c, а c — отрезок орицикла. В модели Пуанкаре орицикл является окружностью, которая касается абсолюта

Из симметрии очевидно, что c перпендикулярна всему семейству параллельных прямых на псевдосфере. Кривая, обладающая таким свойством, носит в геометрии Лобачевского специальное название: орицикл. Чем же орицикл является в модели Пуанкаре? В евклидовой геометрии, разумеется, семейству параллельных прямых перпендикулярно другое семейство параллельных прямых. В геометрии Лобачевского это не так: кривая c, конечно, прямой не является. Впрочем, не составляет труда выяснить вид c в модели Пуанкаре. В этом помогает замечательный факт: евклидовы углы в модели Пуанкаре совпадают с углами плоскости Лобачевского. Поэтому задача сводится к следующей: найти кривую, перпендикулярную семейству касающихся друг друга в одной точке окружностей. У этой кривой нужно будет выбрать отрезок, равный по длине окружности основания псевдосферы.

Такой кривой является любая окружность, перпендикулярная общей касательной семейства и проходящая через точку касания. Отсюда немедленно следует, что эта окружность будет касаться абсолюта.

Интересно посмотреть, что будет, если отрезок c имеет длину, отличную от длины окружности в основании псевдосферы. В модели Пуанкаре это может соответствовать тому, что вместо b берется какая-нибудь другая прямая, параллельная а (например, одна из черных внутри серой области в левой части рис. 3).

Послесловие

Кроме модели Пуанкаре и псевдосферы существуют и другие модели геометрии Лобачевского. Исторически первой появилась модель Клейна в круге. В ней прямыми называются не дуги окружностей, а хорды, а расстояние вычисляется по точно такой же формуле. Другая модель — тоже Пуанкаре, но в полуплоскости. Ее можно представлять себе как модель Пуанкаре, у которой радиус круга устремлен к бесконечности. Абсолют превращается в границу полуплоскости, прямые Лобачевского — в полуокружности, перпендикулярные абсолюту, либо в прямые, перпендикулярные абсолюту.

Чтобы избавиться от этой избыточности, можно определять геометрию немного по-другому. А именно, будем задавать расстояния не между какими угодно двумя точками, а только между бесконечно близкими. После этого можно естественным образом определить длину кривой, разбив ее на малые части и просуммировав их длины (то есть взяв интеграл по кривой). Наконец, назовем отрезком прямой в этой геометрии линию, соединяющую две точки и имеющую кратчайшую длину.

Метрика полностью определяет внутренние свойства поверхности, в частности, насколько и каким образом эта поверхность искривлена. Таким образом, мы пришли к тому, с чего начали: геометрия Лобачевского — это геометрия искривленной поверхности, а именно — псевдосферы. А все модели геометрии Лобачевского — это разные системы координат, введенные на плоскости Лобачевского. Метрики моделей, разумеется, отличаются между собой, но при этом описывают одну и ту же геометрию.

Чтобы не быть голословными, выпишем явно метрики для евклидового пространства и геометрии Лобачевского. Начнем с модели Пуанкаре в верхней полуплоскости, потому что в ней сразу будут видны все особенности, характерные для искривленных поверхностей. Пусть две точки имеют координаты (x, y) и (x + dx, y + dy). Тогда квадрат расстояния между ними вычисляется по формуле

Для евклидовой плоскости вместо этого есть всем известная формула

которая есть не что иное, как теорема Пифагора.

Метрики для модели Клейна и Пуанкаре можно при желании посмотреть, например, в Википедии (см. Beltrami–Klein model и Poincaré disk model).

Геометрия Лобачевского, созданная в XIX веке, была важнейшей ступенью к созданию области математики, которая сейчас называется дифференциальной геометрией

Она занимается изучением произвольных искривленных пространств, а ее математический аппарат является фундаментом такой важной области современной физики, как общая теория относительности (ОТО). Дело в том, что, согласно ОТО, пространство-время, в котором мы живем, обладает кривизной, причем кривизна пространства соответствует наличию в этой точке пространства гравитационного поля

Нарушение мотивационного компонента памяти кратко
Структура военной службы в ссср кратко
Лебединая песня шуберт история создания кратко
Арнольд шенберг биография кратко
Отдел хитридиомикота 7 класс кратко

Упорный Лобачевский

Несмотря на выпады критиков, Лобачевский был непреклонен и не только не отказывался от своей «воображаемой» геометрии, но и продолжал печатать свои труды по ней. В 1835 году в «Ученых записках Императорского Казанского университета» (бывшем «Казанском вестнике») вышла его «Воображаемая геометрия», а в 1835–1838-м — «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

Портрет Николая Лобачевского предположительно работы Льва Крюкова, первая половина XIX века. Источник

Не найдя соратников в своей стране, Лобачевский опубликовал «Воображаемую геометрию» на французском языке в авторитетном журнале немецкого математика и архитектора Августа Леопольда Крелле. А в 1840 году на немецком вышла его небольшая книга «Геометрические исследования по теории параллельных». О трудах казанского профессора узнали в Европе, но не то чтобы они произвели там фурор.

Среди тех, кому на глаза попались «Геометрические исследования…», был и Карл Фридрих Гаусс — создатель теории чисел и поверхностей, а также понятия полной кривизны, «король математиков», или «принцепс математикорум», как его называли. Знаменитый немецкий ученый высоко оценил изыскания Лобачевского, заметив, что и сам много мыслил в этом направлении. Вот что он говорил о работе Лобачевского в письме астроному Генриху Шумахеру 1846 года:

Вот только открыто об этом Гаусс не сказал. Он признавал «воображаемую» геометрию только в дневниках и личной переписке на условиях анонимности. Ученый считал, что общество еще не готово к неевклидовой геометрии, и боялся криков «беотийцев», то есть невежд. Поэтому он предпочел быть никак не связанным с громким, но вызывавшим столько споров открытием. Вот как он сам об этом говорил в письмах венгерскому математику, отцу Яноша Бойяи Фаркашу Бойяи и немецкому математику Фридриху Вильгельму Бесселю:

Опасливость, а быть может, и ревность к первенству в научных открытиях Гаусса сыграли дурную шутку с другим первооткрывателем неевклидовой геометрии — венгерским военным инженером Яношем Бойяи. На рубеже 1820–1830-х годов он независимо от Лобачевского пришел к тем же выводам и отправил Гауссу на отзыв свою работу (она была опубликована позже — в 1832 году). Холодный ответ «короля математиков», который заявил, что работает над темой уже 30–35 лет, разозлил Бойяи и расстроил его нервы. А когда Гаусс прислал Бойяи работу Лобачевского, тот и вовсе вышел из равновесия. Он заподозрил коллег в плагиате, пытался опровергнуть их, а по сути и свои собственные, идеи. Так и не вернувшись к нормальному состоянию, он больше не довел ни одного труда до конца. Лобачевский же о существовании Бойяи, судя по всему, так и не узнал.

К казанскому коллеге Гаусс, похоже, был более благосклонен. Именно он рекомендовал принять Лобачевского как одного из лучших математиков России в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества. По сути, это было единственное прижизненное признание научных заслуг Николая Ивановича. Поговаривают также, что у Гаусса были почти все сочинения Лобачевского. Но прямо своих симпатий ему немецкий математик так и не высказал.

На родине же Лобачевский за год до смерти стал почетным членом Московского университета. А поддержал его идеи только профессор механики Казанского университета Петр Котельников. В своей речи 1842 года он отметил, что «воображаемую» геометрию рано или поздно ждет признание. Что характерно, в тот же год Остроградский дал новую отповедь трудам Лобачевского по решению некоторых проблем анализа.

И хотя Лобачевского уважали как деятеля высшей школы, о его геометрии, как вспоминал Александр Бутлеров, продолжали говорить «с улыбкою снисходительного отношения к чудаку ученому». Коллеги-соотечественники обходили его труды стороной. Например, профессор Виктор Буняковский, разбирая различные доказательства постулата Евклида о параллельных прямых, даже не упомянул о «воображаемой» геометрии.

Смерть

Николай Иванович Лобачевский ушёл из жизни 12 (24) февраля 1856 г. В этот же день тридцать лет назад он впервые опубликовал свою теорию неевклидовой геометрии. Выдающийся русский математик был похоронен на казанском Арском кладбище.

Более сжатая для доклада или сообщения в классе

Вариант 2

Интересные факты

Изучая краткую биографию Лобачевского, следует знать, что он умер непризнанным. Позже огромную роль в признании трудов выдающегося учёного сыграли А. Пуанкаре, Ф. Клейна и Э. Бельтрами.
Когда Николай был еще гимназистом, он не пользовался любовью и уважением учителей. Они считали его “упорным вольнодумцем, имеющим огромное самомнение”. Это не мешало ему отлично учиться.
В своём имении, в Беловолжской Слободке, Лобачевский развёл великолепный сад и высадил рощу, которая дожила до наших дней. Высаживая кедры, он нередко говорил, что он едва ли дождется их плодов. Так оно и вышло. Первые кедровые орешки были сняты только после смерти выдающегося математика.

/10

Вопрос 1 из 10